Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58166 / 87570
↖ ↑ ↗
← S 51.648702°
W 20.242310°		 ← 189.51 m → S 51.648702°
W 20.239563°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
S 51.650407°
W 20.242310°		 ← 189.50 m →
35 919 m²		 S 51.650407°
W 20.239563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443775177001953 y=0.668109893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443775177001953 × 217)
    floor (0.443775177001953 × 131072)
    floor (58166.5)     		tx = 58166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668109893798828 × 217)
    floor (0.668109893798828 × 131072)
    floor (87570.5)     		ty = 87570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58166 / 87570 ti = "17/58166/87570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58166/87570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58166 ÷ 217
    58166 ÷ 131072     		x = 0.443771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87570 ÷ 217
    87570 ÷ 131072     		y = 0.668106079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443771362304688 × 2 - 1) × π
    -0.112457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35329495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668106079101562 × 2 - 1) × π
    -0.336212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05624164622832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35329495} λ = -0.35329495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05624164622832))-π/2
    2×atan(0.347760363782635)-π/2
    2×0.334678206173516-π/2
    0.669356412347031-1.57079632675     		φ = -0.90143991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35329495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90143991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.648702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58166 KachelY 87570 -0.35329495 -0.90143991 -20.242310 -51.648702
    Oben rechts KachelX + 1 58167 KachelY 87570 -0.35324701 -0.90143991 -20.239563 -51.648702
    Unten links KachelX 58166 KachelY + 1 87571 -0.35329495 -0.90146966 -20.242310 -51.650407
    Unten rechts KachelX + 1 58167 KachelY + 1 87571 -0.35324701 -0.90146966 -20.239563 -51.650407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90143991--0.90146966) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90143991--0.90146966) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35329495--0.35324701) × cos(-0.90143991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620481404005438 × 6371000     		do = 189.510991974695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35329495--0.35324701) × cos(-0.90146966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620458073151358 × 6371000     		du = 189.503866131323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90143991)-sin(-0.90146966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620481404005438-0.620458073151358)×R²
    abs(-0.35324701--0.35329495)×2.33308540793509e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33308540793509e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33308540793509e-05×40589641000000     		ar = 35918.7169597289m²