Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58165 / 88555
↖ ↑ ↗
← S 53.296414°
W 20.245056°		 ← 182.55 m → S 53.296414°
W 20.242310°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
S 53.298055°
W 20.245056°		 ← 182.54 m →
33 319 m²		 S 53.298055°
W 20.242310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443767547607422 y=0.675624847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443767547607422 × 217)
    floor (0.443767547607422 × 131072)
    floor (58165.5)     		tx = 58165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675624847412109 × 217)
    floor (0.675624847412109 × 131072)
    floor (88555.5)     		ty = 88555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58165 / 88555 ti = "17/58165/88555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58165/88555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58165 ÷ 217
    58165 ÷ 131072     		x = 0.443763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88555 ÷ 217
    88555 ÷ 131072     		y = 0.675621032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443763732910156 × 2 - 1) × π
    -0.112472534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35334289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675621032714844 × 2 - 1) × π
    -0.351242065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.10345949235407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35334289} λ = -0.35334289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10345949235407))-π/2
    2×atan(0.331721508349217)-π/2
    2×0.320299211136082-π/2
    0.640598422272165-1.57079632675     		φ = -0.93019790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35334289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.245056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93019790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.296414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58165 KachelY 88555 -0.35334289 -0.93019790 -20.245056 -53.296414
    Oben rechts KachelX + 1 58166 KachelY 88555 -0.35329495 -0.93019790 -20.242310 -53.296414
    Unten links KachelX 58165 KachelY + 1 88556 -0.35334289 -0.93022655 -20.245056 -53.298055
    Unten rechts KachelX + 1 58166 KachelY + 1 88556 -0.35329495 -0.93022655 -20.242310 -53.298055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93019790--0.93022655) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93019790--0.93022655) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35334289--0.35329495) × cos(-0.93019790) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597675329995125 × 6371000     		do = 182.545429943597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35334289--0.35329495) × cos(-0.93022655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597652359949359 × 6371000     		du = 182.538414300371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93019790)-sin(-0.93022655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597675329995125-0.597652359949359)×R²
    abs(-0.35329495--0.35334289)×2.29700457661242e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29700457661242e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29700457661242e-05×40589641000000     		ar = 33319.2218864713m²