Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58164 / 88627
↖ ↑ ↗
← S 53.414443°
W 20.247803°		 ← 182 m → S 53.414443°
W 20.245056°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
S 53.416080°
W 20.247803°		 ← 182 m →
33 127 m²		 S 53.416080°
W 20.245056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443759918212891 y=0.676174163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443759918212891 × 217)
    floor (0.443759918212891 × 131072)
    floor (58164.5)     		tx = 58164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676174163818359 × 217)
    floor (0.676174163818359 × 131072)
    floor (88627.5)     		ty = 88627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58164 / 88627 ti = "17/58164/88627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58164/88627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58164 ÷ 217
    58164 ÷ 131072     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88627 ÷ 217
    88627 ÷ 131072     		y = 0.676170349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676170349121094 × 2 - 1) × π
    -0.352340698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.10691094912672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10691094912672))-π/2
    2×atan(0.330578559456561)-π/2
    2×0.319269212335054-π/2
    0.638538424670107-1.57079632675     		φ = -0.93225790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93225790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.414443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58164 KachelY 88627 -0.35339082 -0.93225790 -20.247803 -53.414443
    Oben rechts KachelX + 1 58165 KachelY 88627 -0.35334289 -0.93225790 -20.245056 -53.414443
    Unten links KachelX 58164 KachelY + 1 88628 -0.35339082 -0.93228647 -20.247803 -53.416080
    Unten rechts KachelX + 1 58165 KachelY + 1 88628 -0.35334289 -0.93228647 -20.245056 -53.416080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93225790--0.93228647) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93225790--0.93228647) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35334289) × cos(-0.93225790) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596022482248913 × 6371000     		do = 182.002635105068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35334289) × cos(-0.93228647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595999541217171 × 6371000     		du = 181.995629785045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93225790)-sin(-0.93228647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596022482248913-0.595999541217171)×R²
    abs(-0.35334289--0.35339082)×2.2941031742052e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2941031742052e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2941031742052e-05×40589641000000     		ar = 33127.3856305327m²