Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58164 / 87556
↖ ↑ ↗
← S 51.624837°
W 20.247803°		 ← 189.57 m → S 51.624837°
W 20.245056°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
S 51.626543°
W 20.247803°		 ← 189.56 m →
35 942 m²		 S 51.626543°
W 20.245056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443759918212891 y=0.668003082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443759918212891 × 217)
    floor (0.443759918212891 × 131072)
    floor (58164.5)     		tx = 58164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668003082275391 × 217)
    floor (0.668003082275391 × 131072)
    floor (87556.5)     		ty = 87556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58164 / 87556 ti = "17/58164/87556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58164/87556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58164 ÷ 217
    58164 ÷ 131072     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87556 ÷ 217
    87556 ÷ 131072     		y = 0.667999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.33599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05557052963364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05557052963364))-π/2
    2×atan(0.347993829866461)-π/2
    2×0.334886468649648-π/2
    0.669772937299296-1.57079632675     		φ = -0.90102339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90102339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.624837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58164 KachelY 87556 -0.35339082 -0.90102339 -20.247803 -51.624837
    Oben rechts KachelX + 1 58165 KachelY 87556 -0.35334289 -0.90102339 -20.245056 -51.624837
    Unten links KachelX 58164 KachelY + 1 87557 -0.35339082 -0.90105315 -20.247803 -51.626543
    Unten rechts KachelX + 1 58165 KachelY + 1 87557 -0.35334289 -0.90105315 -20.245056 -51.626543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90102339--0.90105315) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90102339--0.90105315) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35334289) × cos(-0.90102339) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		do = 189.571189278834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35334289) × cos(-0.90105315) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.620784662966766 × 6371000     		du = 189.564064876294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90102339)-sin(-0.90105315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6208079939701-0.620784662966766)×R²
    abs(-0.35334289--0.35339082)×2.33310033348477e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33310033348477e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33310033348477e-05×40589641000000     		ar = 35942.2040815725m²