Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58163 / 87693
↖ ↑ ↗
← S 51.857835°
W 20.250549°		 ← 188.64 m → S 51.857835°
W 20.247803°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
S 51.859531°
W 20.250549°		 ← 188.63 m →
35 573 m²		 S 51.859531°
W 20.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443752288818359 y=0.669048309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443752288818359 × 217)
    floor (0.443752288818359 × 131072)
    floor (58163.5)     		tx = 58163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669048309326172 × 217)
    floor (0.669048309326172 × 131072)
    floor (87693.5)     		ty = 87693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58163 / 87693 ti = "17/58163/87693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58163/87693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58163 ÷ 217
    58163 ÷ 131072     		x = 0.443748474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87693 ÷ 217
    87693 ÷ 131072     		y = 0.669044494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443748474121094 × 2 - 1) × π
    -0.112503051757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35343876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669044494628906 × 2 - 1) × π
    -0.338088989257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.06213788488158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35343876} λ = -0.35343876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06213788488158))-π/2
    2×atan(0.345715918874204)-π/2
    2×0.332853179703347-π/2
    0.665706359406694-1.57079632675     		φ = -0.90508997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35343876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.250549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90508997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.857835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58163 KachelY 87693 -0.35343876 -0.90508997 -20.250549 -51.857835
    Oben rechts KachelX + 1 58164 KachelY 87693 -0.35339082 -0.90508997 -20.247803 -51.857835
    Unten links KachelX 58163 KachelY + 1 87694 -0.35343876 -0.90511957 -20.250549 -51.859531
    Unten rechts KachelX + 1 58164 KachelY + 1 87694 -0.35339082 -0.90511957 -20.247803 -51.859531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90508997--0.90511957) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90508997--0.90511957) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35343876--0.35339082) × cos(-0.90508997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617614822762347 × 6371000     		do = 188.635464277253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35343876--0.35339082) × cos(-0.90511957) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617591542662327 × 6371000     		du = 188.628353935478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90508997)-sin(-0.90511957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617614822762347-0.617591542662327)×R²
    abs(-0.35339082--0.35343876)×2.32801000195071e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32801000195071e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32801000195071e-05×40589641000000     		ar = 35572.5072327642m²