Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58162 / 87663
↖ ↑ ↗
← S 51.806917°
W 20.253296°		 ← 188.85 m → S 51.806917°
W 20.250549°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
S 51.808615°
W 20.253296°		 ← 188.84 m →
35 661 m²		 S 51.808615°
W 20.250549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443744659423828 y=0.668819427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443744659423828 × 217)
    floor (0.443744659423828 × 131072)
    floor (58162.5)     		tx = 58162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668819427490234 × 217)
    floor (0.668819427490234 × 131072)
    floor (87663.5)     		ty = 87663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58162 / 87663 ti = "17/58162/87663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58162/87663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58162 ÷ 217
    58162 ÷ 131072     		x = 0.443740844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87663 ÷ 217
    87663 ÷ 131072     		y = 0.668815612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443740844726562 × 2 - 1) × π
    -0.112518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35348670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668815612792969 × 2 - 1) × π
    -0.337631225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06069977789298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35348670} λ = -0.35348670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06069977789298))-π/2
    2×atan(0.346213453021127)-π/2
    2×0.33329752898462-π/2
    0.666595057969239-1.57079632675     		φ = -0.90420127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35348670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90420127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.806917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58162 KachelY 87663 -0.35348670 -0.90420127 -20.253296 -51.806917
    Oben rechts KachelX + 1 58163 KachelY 87663 -0.35343876 -0.90420127 -20.250549 -51.806917
    Unten links KachelX 58162 KachelY + 1 87664 -0.35348670 -0.90423091 -20.253296 -51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 58163 KachelY + 1 87664 -0.35343876 -0.90423091 -20.250549 -51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90420127--0.90423091) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90420127--0.90423091) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35348670--0.35343876) × cos(-0.90420127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618313524198323 × 6371000     		do = 188.848865680157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35348670--0.35343876) × cos(-0.90423091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 188.841750701276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90420127)-sin(-0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618313524198323-0.618290228915873)×R²
    abs(-0.35343876--0.35348670)×2.32952824499311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32952824499311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32952824499311e-05×40589641000000     		ar = 35660.87571197m²