Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58161 / 89858
↖ ↑ ↗
← S 55.382231°
W 20.256042°		 ← 173.48 m → S 55.382231°
W 20.253296°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
S 55.383791°
W 20.256042°		 ← 173.47 m →
30 094 m²		 S 55.383791°
W 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443737030029297 y=0.685565948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443737030029297 × 217)
    floor (0.443737030029297 × 131072)
    floor (58161.5)     		tx = 58161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685565948486328 × 217)
    floor (0.685565948486328 × 131072)
    floor (89858.5)     		ty = 89858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58161 / 89858 ti = "17/58161/89858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58161/89858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58161 ÷ 217
    58161 ÷ 131072     		x = 0.443733215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89858 ÷ 217
    89858 ÷ 131072     		y = 0.685562133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443733215332031 × 2 - 1) × π
    -0.112533569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35353463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.371124267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16592127255901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35353463} λ = -0.35353463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16592127255901))-π/2
    2×atan(0.311635428574051)-π/2
    2×0.30209702235653-π/2
    0.60419404471306-1.57079632675     		φ = -0.96660228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35353463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.256042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96660228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.382231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58161 KachelY 89858 -0.35353463 -0.96660228 -20.256042 -55.382231
    Oben rechts KachelX + 1 58162 KachelY 89858 -0.35348670 -0.96660228 -20.253296 -55.382231
    Unten links KachelX 58161 KachelY + 1 89859 -0.35353463 -0.96662951 -20.256042 -55.383791
    Unten rechts KachelX + 1 58162 KachelY + 1 89859 -0.35348670 -0.96662951 -20.253296 -55.383791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96660228--0.96662951) × R
    2.72299999999337e-05 × 6371000     		dl = 173.482329999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96660228--0.96662951) × R
    2.72299999999337e-05 × 6371000     		dr = 173.482329999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(-0.96660228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568098993406175 × 6371000     		do = 173.475861867573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(-0.96662951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.568076583988607 × 6371000     		du = 173.469018882333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96660228)-sin(-0.96662951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568098993406175-0.568076583988607)×R²
    abs(-0.35348670--0.35353463)×2.24094175679257e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24094175679257e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24094175679257e-05×40589641000000     		ar = 30094.4031489473m²