Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58161 / 87662
↖ ↑ ↗
← S 51.805218°
W 20.256042°		 ← 188.82 m → S 51.805218°
W 20.253296°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
S 51.806917°
W 20.256042°		 ← 188.81 m →
35 655 m²		 S 51.806917°
W 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443737030029297 y=0.668811798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443737030029297 × 217)
    floor (0.443737030029297 × 131072)
    floor (58161.5)     		tx = 58161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668811798095703 × 217)
    floor (0.668811798095703 × 131072)
    floor (87662.5)     		ty = 87662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58161 / 87662 ti = "17/58161/87662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58161/87662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58161 ÷ 217
    58161 ÷ 131072     		x = 0.443733215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87662 ÷ 217
    87662 ÷ 131072     		y = 0.668807983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443733215332031 × 2 - 1) × π
    -0.112533569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35353463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668807983398438 × 2 - 1) × π
    -0.337615966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06065184099336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35353463} λ = -0.35353463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06065184099336))-π/2
    2×atan(0.346230049818468)-π/2
    2×0.333312349280488-π/2
    0.666624698560975-1.57079632675     		φ = -0.90417163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35353463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.256042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90417163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.805218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58161 KachelY 87662 -0.35353463 -0.90417163 -20.256042 -51.805218
    Oben rechts KachelX + 1 58162 KachelY 87662 -0.35348670 -0.90417163 -20.253296 -51.805218
    Unten links KachelX 58161 KachelY + 1 87663 -0.35353463 -0.90420127 -20.256042 -51.806917
    Unten rechts KachelX + 1 58162 KachelY + 1 87663 -0.35348670 -0.90420127 -20.253296 -51.806917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90417163--0.90420127) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90417163--0.90420127) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(-0.90417163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618336818937566 × 6371000     		do = 188.816586254633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(-0.90420127) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618313524198323 × 6371000     		du = 188.80947292577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90417163)-sin(-0.90420127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618336818937566-0.618313524198323)×R²
    abs(-0.35348670--0.35353463)×2.32947392430072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32947392430072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32947392430072e-05×40589641000000     		ar = 35654.7803359771m²