Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58159 / 87666
↖ ↑ ↗
← S 51.812011°
W 20.261536°		 ← 188.83 m → S 51.812011°
W 20.258789°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
S 51.813709°
W 20.261536°		 ← 188.82 m →
35 657 m²		 S 51.813709°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443721771240234 y=0.668842315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443721771240234 × 217)
    floor (0.443721771240234 × 131072)
    floor (58159.5)     		tx = 58159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668842315673828 × 217)
    floor (0.668842315673828 × 131072)
    floor (87666.5)     		ty = 87666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58159 / 87666 ti = "17/58159/87666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58159/87666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58159 ÷ 217
    58159 ÷ 131072     		x = 0.443717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87666 ÷ 217
    87666 ÷ 131072     		y = 0.668838500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443717956542969 × 2 - 1) × π
    -0.112564086914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35363051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668838500976562 × 2 - 1) × π
    -0.337677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06084358859184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35363051} λ = -0.35363051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06084358859184))-π/2
    2×atan(0.346163667402431)-π/2
    2×0.333253071447059-π/2
    0.666506142894118-1.57079632675     		φ = -0.90429018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35363051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.261536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90429018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.812011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58159 KachelY 87666 -0.35363051 -0.90429018 -20.261536 -51.812011
    Oben rechts KachelX + 1 58160 KachelY 87666 -0.35358257 -0.90429018 -20.258789 -51.812011
    Unten links KachelX 58159 KachelY + 1 87667 -0.35363051 -0.90431982 -20.261536 -51.813709
    Unten rechts KachelX + 1 58160 KachelY + 1 87667 -0.35358257 -0.90431982 -20.258789 -51.813709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90429018--0.90431982) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90429018--0.90431982) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35363051--0.35358257) × cos(-0.90429018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6182436445813 × 6371000     		do = 188.827522646635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35363051--0.35358257) × cos(-0.90431982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618220347669536 × 6371000     		du = 188.82040717012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90429018)-sin(-0.90431982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6182436445813-0.618220347669536)×R²
    abs(-0.35358257--0.35363051)×2.32969117638371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32969117638371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32969117638371e-05×40589641000000     		ar = 35656.8453223973m²