Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58158 / 87668
↖ ↑ ↗
← S 51.815407°
W 20.264282°		 ← 188.81 m → S 51.815407°
W 20.261536°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
S 51.817105°
W 20.264282°		 ← 188.81 m →
35 654 m²		 S 51.817105°
W 20.261536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443714141845703 y=0.668857574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443714141845703 × 217)
    floor (0.443714141845703 × 131072)
    floor (58158.5)     		tx = 58158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668857574462891 × 217)
    floor (0.668857574462891 × 131072)
    floor (87668.5)     		ty = 87668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58158 / 87668 ti = "17/58158/87668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58158/87668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58158 ÷ 217
    58158 ÷ 131072     		x = 0.443710327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87668 ÷ 217
    87668 ÷ 131072     		y = 0.668853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443710327148438 × 2 - 1) × π
    -0.112579345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35367845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.33770751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06093946239108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35367845} λ = -0.35367845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06093946239108))-π/2
    2×atan(0.346130480967358)-π/2
    2×0.333223435880308-π/2
    0.666446871760616-1.57079632675     		φ = -0.90434945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35367845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90434945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.815407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58158 KachelY 87668 -0.35367845 -0.90434945 -20.264282 -51.815407
    Oben rechts KachelX + 1 58159 KachelY 87668 -0.35363051 -0.90434945 -20.261536 -51.815407
    Unten links KachelX 58158 KachelY + 1 87669 -0.35367845 -0.90437909 -20.264282 -51.817105
    Unten rechts KachelX + 1 58159 KachelY + 1 87669 -0.35363051 -0.90437909 -20.261536 -51.817105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90434945--0.90437909) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90434945--0.90437909) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35367845--0.35363051) × cos(-0.90434945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618197058074879 × 6371000     		do = 188.813293928219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35367845--0.35363051) × cos(-0.90437909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618173760077069 × 6371000     		du = 188.806178119997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90434945)-sin(-0.90437909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618197058074879-0.618173760077069)×R²
    abs(-0.35363051--0.35367845)×2.329799781009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.329799781009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.329799781009e-05×40589641000000     		ar = 35654.158390834m²