Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58157 / 87536
↖ ↑ ↗
← S 51.590722°
W 20.267029°		 ← 189.71 m → S 51.590722°
W 20.264282°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
S 51.592429°
W 20.267029°		 ← 189.71 m →
35 993 m²		 S 51.592429°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443706512451172 y=0.667850494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443706512451172 × 217)
    floor (0.443706512451172 × 131072)
    floor (58157.5)     		tx = 58157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667850494384766 × 217)
    floor (0.667850494384766 × 131072)
    floor (87536.5)     		ty = 87536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58157 / 87536 ti = "17/58157/87536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58157/87536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58157 ÷ 217
    58157 ÷ 131072     		x = 0.443702697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87536 ÷ 217
    87536 ÷ 131072     		y = 0.6678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443702697753906 × 2 - 1) × π
    -0.112594604492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35372638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35372638} λ = -0.35372638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05461179164124))-π/2
    2×atan(0.348327624757629)-π/2
    2×0.335184176603993-π/2
    0.670368353207986-1.57079632675     		φ = -0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35372638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.267029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58157 KachelY 87536 -0.35372638 -0.90042797 -20.267029 -51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 58158 KachelY 87536 -0.35367845 -0.90042797 -20.264282 -51.590722
    Unten links KachelX 58157 KachelY + 1 87537 -0.35372638 -0.90045775 -20.267029 -51.592429
    Unten rechts KachelX + 1 58158 KachelY + 1 87537 -0.35367845 -0.90045775 -20.264282 -51.592429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90042797--0.90045775) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90042797--0.90045775) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35372638--0.35367845) × cos(-0.90042797) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 189.71369470498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35372638--0.35367845) × cos(-0.90045775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621251335265764 × 6371000     		du = 189.70656887708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90042797)-sin(-0.90045775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621251335265764)×R²
    abs(-0.35367845--0.35372638)×2.33356711027977e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33356711027977e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33356711027977e-05×40589641000000     		ar = 35993.3959768705m²