Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58156 / 87534
↖ ↑ ↗
← S 51.587310°
W 20.269775°		 ← 189.77 m → S 51.587310°
W 20.267029°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
S 51.589016°
W 20.269775°		 ← 189.76 m →
36 004 m²		 S 51.589016°
W 20.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443698883056641 y=0.667835235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443698883056641 × 217)
    floor (0.443698883056641 × 131072)
    floor (58156.5)     		tx = 58156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667835235595703 × 217)
    floor (0.667835235595703 × 131072)
    floor (87534.5)     		ty = 87534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58156 / 87534 ti = "17/58156/87534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58156/87534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58156 ÷ 217
    58156 ÷ 131072     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87534 ÷ 217
    87534 ÷ 131072     		y = 0.667831420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667831420898438 × 2 - 1) × π
    -0.335662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.054515917842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.054515917842))-π/2
    2×atan(0.348361021851322)-π/2
    2×0.335213959704107-π/2
    0.670427919408213-1.57079632675     		φ = -0.90036841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90036841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.587310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58156 KachelY 87534 -0.35377432 -0.90036841 -20.269775 -51.587310
    Oben rechts KachelX + 1 58157 KachelY 87534 -0.35372638 -0.90036841 -20.267029 -51.587310
    Unten links KachelX 58156 KachelY + 1 87535 -0.35377432 -0.90039819 -20.269775 -51.589016
    Unten rechts KachelX + 1 58157 KachelY + 1 87535 -0.35372638 -0.90039819 -20.267029 -51.589016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90036841--0.90039819) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90036841--0.90039819) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35372638) × cos(-0.90036841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		do = 189.767530238401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35372638) × cos(-0.90039819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621298006056993 × 6371000     		du = 189.760403260357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90036841)-sin(-0.90039819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621321340626122-0.621298006056993)×R²
    abs(-0.35372638--0.35377432)×2.33345691291742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33345691291742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33345691291742e-05×40589641000000     		ar = 36003.6099963924m²