Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58154 / 87534
↖ ↑ ↗
← S 51.587310°
W 20.275268°		 ← 189.73 m → S 51.587310°
W 20.272522°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
S 51.589016°
W 20.275268°		 ← 189.72 m →
35 996 m²		 S 51.589016°
W 20.272522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443683624267578 y=0.667835235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443683624267578 × 217)
    floor (0.443683624267578 × 131072)
    floor (58154.5)     		tx = 58154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667835235595703 × 217)
    floor (0.667835235595703 × 131072)
    floor (87534.5)     		ty = 87534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58154 / 87534 ti = "17/58154/87534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58154/87534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58154 ÷ 217
    58154 ÷ 131072     		x = 0.443679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87534 ÷ 217
    87534 ÷ 131072     		y = 0.667831420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443679809570312 × 2 - 1) × π
    -0.112640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35387019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667831420898438 × 2 - 1) × π
    -0.335662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.054515917842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35387019} λ = -0.35387019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.054515917842))-π/2
    2×atan(0.348361021851322)-π/2
    2×0.335213959704107-π/2
    0.670427919408213-1.57079632675     		φ = -0.90036841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35387019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.275268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90036841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.587310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58154 KachelY 87534 -0.35387019 -0.90036841 -20.275268 -51.587310
    Oben rechts KachelX + 1 58155 KachelY 87534 -0.35382226 -0.90036841 -20.272522 -51.587310
    Unten links KachelX 58154 KachelY + 1 87535 -0.35387019 -0.90039819 -20.275268 -51.589016
    Unten rechts KachelX + 1 58155 KachelY + 1 87535 -0.35382226 -0.90039819 -20.272522 -51.589016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90036841--0.90039819) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90036841--0.90039819) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35387019--0.35382226) × cos(-0.90036841) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		do = 189.727945855811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35387019--0.35382226) × cos(-0.90039819) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.621298006056993 × 6371000     		du = 189.720820364412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90036841)-sin(-0.90039819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621321340626122-0.621298006056993)×R²
    abs(-0.35382226--0.35387019)×2.33345691291742e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33345691291742e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33345691291742e-05×40589641000000     		ar = 35996.099856639m²