Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58152 / 88904
↖ ↑ ↗
← S 53.865486°
W 20.280762°		 ← 180.10 m → S 53.865486°
W 20.278015°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
S 53.867105°
W 20.280762°		 ← 180.10 m →
32 426 m²		 S 53.867105°
W 20.278015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443668365478516 y=0.678287506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443668365478516 × 217)
    floor (0.443668365478516 × 131072)
    floor (58152.5)     		tx = 58152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678287506103516 × 217)
    floor (0.678287506103516 × 131072)
    floor (88904.5)     		ty = 88904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58152 / 88904 ti = "17/58152/88904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58152/88904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58152 ÷ 217
    58152 ÷ 131072     		x = 0.44366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88904 ÷ 217
    88904 ÷ 131072     		y = 0.67828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35396607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.3565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12018947032147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35396607} λ = -0.35396607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12018947032147))-π/2
    2×atan(0.326217980141652)-π/2
    2×0.315333125753267-π/2
    0.630666251506534-1.57079632675     		φ = -0.94013008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35396607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94013008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.865486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58152 KachelY 88904 -0.35396607 -0.94013008 -20.280762 -53.865486
    Oben rechts KachelX + 1 58153 KachelY 88904 -0.35391813 -0.94013008 -20.278015 -53.865486
    Unten links KachelX 58152 KachelY + 1 88905 -0.35396607 -0.94015834 -20.280762 -53.867105
    Unten rechts KachelX + 1 58153 KachelY + 1 88905 -0.35391813 -0.94015834 -20.278015 -53.867105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94013008--0.94015834) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dl = 180.044460000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94013008--0.94015834) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dr = 180.044460000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35396607--0.35391813) × cos(-0.94013008) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589682972883849 × 6371000     		do = 180.10435835854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35396607--0.35391813) × cos(-0.94015834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589660148888563 × 6371000     		du = 180.09738732289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94013008)-sin(-0.94015834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589682972883849-0.589660148888563)×R²
    abs(-0.35391813--0.35396607)×2.2823995286525e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2823995286525e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2823995286525e-05×40589641000000     		ar = 32426.1643983928m²