Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58142 / 88895
↖ ↑ ↗
← S 53.850906°
W 20.308228°		 ← 180.17 m → S 53.850906°
W 20.305481°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
S 53.852527°
W 20.308228°		 ← 180.16 m →
32 460 m²		 S 53.852527°
W 20.305481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443592071533203 y=0.678218841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443592071533203 × 217)
    floor (0.443592071533203 × 131072)
    floor (58142.5)     		tx = 58142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678218841552734 × 217)
    floor (0.678218841552734 × 131072)
    floor (88895.5)     		ty = 88895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58142 / 88895 ti = "17/58142/88895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58142/88895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58142 ÷ 217
    58142 ÷ 131072     		x = 0.443588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88895 ÷ 217
    88895 ÷ 131072     		y = 0.678215026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    -0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678215026855469 × 2 - 1) × π
    -0.356430053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.11975803822489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35444544} λ = -0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11975803822489))-π/2
    2×atan(0.326358751413206)-π/2
    2×0.315460351997412-π/2
    0.630920703994824-1.57079632675     		φ = -0.93987562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93987562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.850906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58142 KachelY 88895 -0.35444544 -0.93987562 -20.308228 -53.850906
    Oben rechts KachelX + 1 58143 KachelY 88895 -0.35439750 -0.93987562 -20.305481 -53.850906
    Unten links KachelX 58142 KachelY + 1 88896 -0.35444544 -0.93990390 -20.308228 -53.852527
    Unten rechts KachelX + 1 58143 KachelY + 1 88896 -0.35439750 -0.93990390 -20.305481 -53.852527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93987562--0.93990390) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93987562--0.93990390) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35444544--0.35439750) × cos(-0.93987562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.589888464545244 × 6371000     		do = 180.167120801285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35444544--0.35439750) × cos(-0.93990390) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58986562864102 × 6371000     		du = 180.160146128339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93987562)-sin(-0.93990390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589888464545244-0.58986562864102)×R²
    abs(-0.35439750--0.35444544)×2.28359042243609e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28359042243609e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28359042243609e-05×40589641000000     		ar = 32460.4205510603m²