Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58139 / 89137
↖ ↑ ↗
← S 54.241156°
W 20.316467°		 ← 178.48 m → S 54.241156°
W 20.313721°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 54.242761°
W 20.316467°		 ← 178.48 m →
31 850 m²		 S 54.242761°
W 20.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443569183349609 y=0.680065155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443569183349609 × 217)
    floor (0.443569183349609 × 131072)
    floor (58139.5)     		tx = 58139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680065155029297 × 217)
    floor (0.680065155029297 × 131072)
    floor (89137.5)     		ty = 89137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58139 / 89137 ti = "17/58139/89137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58139/89137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58139 ÷ 217
    58139 ÷ 131072     		x = 0.443565368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89137 ÷ 217
    89137 ÷ 131072     		y = 0.680061340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443565368652344 × 2 - 1) × π
    -0.112869262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35458925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680061340332031 × 2 - 1) × π
    -0.360122680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13135876793295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35458925} λ = -0.35458925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13135876793295))-π/2
    2×atan(0.322594627257258)-π/2
    2×0.312054785784335-π/2
    0.624109571568671-1.57079632675     		φ = -0.94668676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35458925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.316467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94668676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.241156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58139 KachelY 89137 -0.35458925 -0.94668676 -20.316467 -54.241156
    Oben rechts KachelX + 1 58140 KachelY 89137 -0.35454131 -0.94668676 -20.313721 -54.241156
    Unten links KachelX 58139 KachelY + 1 89138 -0.35458925 -0.94671477 -20.316467 -54.242761
    Unten rechts KachelX + 1 58140 KachelY + 1 89138 -0.35454131 -0.94671477 -20.313721 -54.242761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94668676--0.94671477) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dl = 178.451710000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94668676--0.94671477) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dr = 178.451710000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35458925--0.35454131) × cos(-0.94668676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584374932592763 × 6371000     		do = 178.483146224685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35458925--0.35454131) × cos(-0.94671477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584352202702626 × 6371000     		du = 178.476203931169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94668676)-sin(-0.94671477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584374932592763-0.584352202702626)×R²
    abs(-0.35454131--0.35458925)×2.27298901370743e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27298901370743e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27298901370743e-05×40589641000000     		ar = 31850.0032202109m²