Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58137 / 89154
↖ ↑ ↗
← S 54.268432°
W 20.321960°		 ← 178.37 m → S 54.268432°
W 20.319214°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 54.270036°
W 20.321960°		 ← 178.36 m →
31 806 m²		 S 54.270036°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443553924560547 y=0.680194854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443553924560547 × 217)
    floor (0.443553924560547 × 131072)
    floor (58137.5)     		tx = 58137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680194854736328 × 217)
    floor (0.680194854736328 × 131072)
    floor (89154.5)     		ty = 89154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58137 / 89154 ti = "17/58137/89154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58137/89154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58137 ÷ 217
    58137 ÷ 131072     		x = 0.443550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89154 ÷ 217
    89154 ÷ 131072     		y = 0.680191040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443550109863281 × 2 - 1) × π
    -0.112899780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35468512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680191040039062 × 2 - 1) × π
    -0.360382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13217369522649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35468512} λ = -0.35468512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13217369522649))-π/2
    2×atan(0.322331843180258)-π/2
    2×0.311816752964898-π/2
    0.623633505929795-1.57079632675     		φ = -0.94716282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35468512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.321960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94716282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.268432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58137 KachelY 89154 -0.35468512 -0.94716282 -20.321960 -54.268432
    Oben rechts KachelX + 1 58138 KachelY 89154 -0.35463718 -0.94716282 -20.319214 -54.268432
    Unten links KachelX 58137 KachelY + 1 89155 -0.35468512 -0.94719081 -20.321960 -54.270036
    Unten rechts KachelX + 1 58138 KachelY + 1 89155 -0.35463718 -0.94719081 -20.319214 -54.270036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94716282--0.94719081) × R
    2.79900000000888e-05 × 6371000     		dl = 178.324290000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94716282--0.94719081) × R
    2.79900000000888e-05 × 6371000     		dr = 178.324290000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(-0.94716282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583988551415892 × 6371000     		do = 178.365135467816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35468512--0.35463718) × cos(-0.94719081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583965829971734 × 6371000     		du = 178.358195753921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94716282)-sin(-0.94719081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583988551415892-0.583965829971734)×R²
    abs(-0.35463718--0.35468512)×2.27214441574919e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27214441574919e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27214441574919e-05×40589641000000     		ar = 31806.2173855834m²