Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58135 / 88917
↖ ↑ ↗
← S 53.886535°
W 20.327453°		 ← 179.98 m → S 53.886535°
W 20.324707°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 53.888154°
W 20.327453°		 ← 179.97 m →
32 392 m²		 S 53.888154°
W 20.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443538665771484 y=0.678386688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443538665771484 × 217)
    floor (0.443538665771484 × 131072)
    floor (58135.5)     		tx = 58135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678386688232422 × 217)
    floor (0.678386688232422 × 131072)
    floor (88917.5)     		ty = 88917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58135 / 88917 ti = "17/58135/88917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58135/88917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58135 ÷ 217
    58135 ÷ 131072     		x = 0.443534851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88917 ÷ 217
    88917 ÷ 131072     		y = 0.678382873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443534851074219 × 2 - 1) × π
    -0.112930297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35478099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678382873535156 × 2 - 1) × π
    -0.356765747070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.12081265001653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35478099} λ = -0.35478099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12081265001653))-π/2
    2×atan(0.326014751050963)-π/2
    2×0.315149432758971-π/2
    0.630298865517942-1.57079632675     		φ = -0.94049746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35478099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.327453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94049746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.886535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58135 KachelY 88917 -0.35478099 -0.94049746 -20.327453 -53.886535
    Oben rechts KachelX + 1 58136 KachelY 88917 -0.35473306 -0.94049746 -20.324707 -53.886535
    Unten links KachelX 58135 KachelY + 1 88918 -0.35478099 -0.94052571 -20.327453 -53.888154
    Unten rechts KachelX + 1 58136 KachelY + 1 88918 -0.35473306 -0.94052571 -20.324707 -53.888154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94049746--0.94052571) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dl = 179.980749999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94049746--0.94052571) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dr = 179.980749999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35478099--0.35473306) × cos(-0.94049746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589386224218666 × 6371000     		do = 179.976173881557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35478099--0.35473306) × cos(-0.94052571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589363402181537 × 6371000     		du = 179.969204897971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94049746)-sin(-0.94052571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589386224218666-0.589363402181537)×R²
    abs(-0.35473306--0.35478099)×2.28220371294441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28220371294441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28220371294441e-05×40589641000000     		ar = 32391.6196178979m²