Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58132 / 88916
↖ ↑ ↗
← S 53.884916°
W 20.335693°		 ← 179.98 m → S 53.884916°
W 20.332947°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 53.886535°
W 20.335693°		 ← 179.98 m →
32 393 m²		 S 53.886535°
W 20.332947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443515777587891 y=0.678379058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443515777587891 × 217)
    floor (0.443515777587891 × 131072)
    floor (58132.5)     		tx = 58132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678379058837891 × 217)
    floor (0.678379058837891 × 131072)
    floor (88916.5)     		ty = 88916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58132 / 88916 ti = "17/58132/88916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58132/88916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58132 ÷ 217
    58132 ÷ 131072     		x = 0.443511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88916 ÷ 217
    88916 ÷ 131072     		y = 0.678375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.11297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35492480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.35675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12076471311691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35492480} λ = -0.35492480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12076471311691))-π/2
    2×atan(0.326030379561947)-π/2
    2×0.315163559706616-π/2
    0.630327119413231-1.57079632675     		φ = -0.94046921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35492480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94046921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.884916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58132 KachelY 88916 -0.35492480 -0.94046921 -20.335693 -53.884916
    Oben rechts KachelX + 1 58133 KachelY 88916 -0.35487687 -0.94046921 -20.332947 -53.884916
    Unten links KachelX 58132 KachelY + 1 88917 -0.35492480 -0.94049746 -20.335693 -53.886535
    Unten rechts KachelX + 1 58133 KachelY + 1 88917 -0.35487687 -0.94049746 -20.332947 -53.886535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94046921--0.94049746) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dl = 179.980749999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94046921--0.94049746) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dr = 179.980749999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35492480--0.35487687) × cos(-0.94046921) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589409045785429 × 6371000     		do = 179.983142721303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35492480--0.35487687) × cos(-0.94049746) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589386224218666 × 6371000     		du = 179.976173881349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94046921)-sin(-0.94049746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589409045785429-0.589386224218666)×R²
    abs(-0.35487687--0.35492480)×2.28215667622544e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28215667622544e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28215667622544e-05×40589641000000     		ar = 32392.8738879099m²