Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58132 / 87740
↖ ↑ ↗
← S 51.937492°
W 20.335693°		 ← 188.26 m → S 51.937492°
W 20.332947°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
S 51.939186°
W 20.335693°		 ← 188.25 m →
35 454 m²		 S 51.939186°
W 20.332947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443515777587891 y=0.669406890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443515777587891 × 217)
    floor (0.443515777587891 × 131072)
    floor (58132.5)     		tx = 58132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669406890869141 × 217)
    floor (0.669406890869141 × 131072)
    floor (87740.5)     		ty = 87740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58132 / 87740 ti = "17/58132/87740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58132/87740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58132 ÷ 217
    58132 ÷ 131072     		x = 0.443511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87740 ÷ 217
    87740 ÷ 131072     		y = 0.669403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.11297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35492480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.33880615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06439091916373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35492480} λ = -0.35492480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06439091916373))-π/2
    2×atan(0.34493788585375)-π/2
    2×0.332158042303356-π/2
    0.664316084606712-1.57079632675     		φ = -0.90648024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35492480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90648024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.937492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58132 KachelY 87740 -0.35492480 -0.90648024 -20.335693 -51.937492
    Oben rechts KachelX + 1 58133 KachelY 87740 -0.35487687 -0.90648024 -20.332947 -51.937492
    Unten links KachelX 58132 KachelY + 1 87741 -0.35492480 -0.90650980 -20.335693 -51.939186
    Unten rechts KachelX + 1 58133 KachelY + 1 87741 -0.35487687 -0.90650980 -20.332947 -51.939186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90648024--0.90650980) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90648024--0.90650980) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35492480--0.35487687) × cos(-0.90648024) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.616520805678602 × 6371000     		do = 188.262044759151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35492480--0.35487687) × cos(-0.90650980) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.616497531679762 × 6371000     		du = 188.254937763619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90648024)-sin(-0.90650980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616520805678602-0.616497531679762)×R²
    abs(-0.35487687--0.35492480)×2.32739988400565e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32739988400565e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32739988400565e-05×40589641000000     		ar = 35454.1117042958m²