Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58132 / 87540
↖ ↑ ↗
← S 51.597548°
W 20.335693°		 ← 189.69 m → S 51.597548°
W 20.332947°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
S 51.599254°
W 20.335693°		 ← 189.68 m →
35 988 m²		 S 51.599254°
W 20.332947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443515777587891 y=0.667881011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443515777587891 × 217)
    floor (0.443515777587891 × 131072)
    floor (58132.5)     		tx = 58132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667881011962891 × 217)
    floor (0.667881011962891 × 131072)
    floor (87540.5)     		ty = 87540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58132 / 87540 ti = "17/58132/87540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58132/87540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58132 ÷ 217
    58132 ÷ 131072     		x = 0.443511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87540 ÷ 217
    87540 ÷ 131072     		y = 0.667877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.11297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35492480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.33575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05480353923972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35492480} λ = -0.35492480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05480353923972))-π/2
    2×atan(0.348260840175193)-π/2
    2×0.335124617115908-π/2
    0.670249234231817-1.57079632675     		φ = -0.90054709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35492480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90054709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.597548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58132 KachelY 87540 -0.35492480 -0.90054709 -20.335693 -51.597548
    Oben rechts KachelX + 1 58133 KachelY 87540 -0.35487687 -0.90054709 -20.332947 -51.597548
    Unten links KachelX 58132 KachelY + 1 87541 -0.35492480 -0.90057687 -20.335693 -51.599254
    Unten rechts KachelX + 1 58133 KachelY + 1 87541 -0.35487687 -0.90057687 -20.332947 -51.599254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90054709--0.90057687) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90054709--0.90057687) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35492480--0.35487687) × cos(-0.90054709) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.621181324946804 × 6371000     		do = 189.685190383742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35492480--0.35487687) × cos(-0.90057687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.621157987072002 × 6371000     		du = 189.678063882917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90054709)-sin(-0.90057687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621181324946804-0.621157987072002)×R²
    abs(-0.35487687--0.35492480)×2.33378748016877e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33378748016877e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33378748016877e-05×40589641000000     		ar = 35987.9878344749m²