Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58130 / 87739
↖ ↑ ↗
← S 51.935799°
W 20.341187°		 ← 188.31 m → S 51.935799°
W 20.338440°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
S 51.937492°
W 20.341187°		 ← 188.30 m →
35 451 m²		 S 51.937492°
W 20.338440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443500518798828 y=0.669399261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443500518798828 × 217)
    floor (0.443500518798828 × 131072)
    floor (58130.5)     		tx = 58130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669399261474609 × 217)
    floor (0.669399261474609 × 131072)
    floor (87739.5)     		ty = 87739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58130 / 87739 ti = "17/58130/87739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58130/87739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58130 ÷ 217
    58130 ÷ 131072     		x = 0.443496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87739 ÷ 217
    87739 ÷ 131072     		y = 0.669395446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443496704101562 × 2 - 1) × π
    -0.113006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35502068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669395446777344 × 2 - 1) × π
    -0.338790893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.06434298226411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35502068} λ = -0.35502068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06434298226411))-π/2
    2×atan(0.34495442150289)-π/2
    2×0.332172819630166-π/2
    0.664345639260331-1.57079632675     		φ = -0.90645069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35502068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.341187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90645069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.935799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58130 KachelY 87739 -0.35502068 -0.90645069 -20.341187 -51.935799
    Oben rechts KachelX + 1 58131 KachelY 87739 -0.35497274 -0.90645069 -20.338440 -51.935799
    Unten links KachelX 58130 KachelY + 1 87740 -0.35502068 -0.90648024 -20.341187 -51.937492
    Unten rechts KachelX + 1 58131 KachelY + 1 87740 -0.35497274 -0.90648024 -20.338440 -51.937492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90645069--0.90648024) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90645069--0.90648024) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35502068--0.35497274) × cos(-0.90645069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616544071265526 × 6371000     		do = 188.308429208763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35502068--0.35497274) × cos(-0.90648024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616520805678602 × 6371000     		du = 188.30132329966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90645069)-sin(-0.90648024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616544071265526-0.616520805678602)×R²
    abs(-0.35497274--0.35502068)×2.3265586924115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3265586924115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3265586924115e-05×40589641000000     		ar = 35450.8503361414m²