Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58129 / 90030
↖ ↑ ↗
← S 55.649699°
W 20.343933°		 ← 172.34 m → S 55.649699°
W 20.341187°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
S 55.651249°
W 20.343933°		 ← 172.33 m →
29 699 m²		 S 55.651249°
W 20.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443492889404297 y=0.686878204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443492889404297 × 217)
    floor (0.443492889404297 × 131072)
    floor (58129.5)     		tx = 58129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686878204345703 × 217)
    floor (0.686878204345703 × 131072)
    floor (90030.5)     		ty = 90030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58129 / 90030 ti = "17/58129/90030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58129/90030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58129 ÷ 217
    58129 ÷ 131072     		x = 0.443489074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90030 ÷ 217
    90030 ÷ 131072     		y = 0.686874389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443489074707031 × 2 - 1) × π
    -0.113021850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35506862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686874389648438 × 2 - 1) × π
    -0.373748779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17416641929366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35506862} λ = -0.35506862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17416641929366))-π/2
    2×atan(0.309076512553542)-π/2
    2×0.299762928970703-π/2
    0.599525857941407-1.57079632675     		φ = -0.97127047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35506862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.343933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97127047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.649699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58129 KachelY 90030 -0.35506862 -0.97127047 -20.343933 -55.649699
    Oben rechts KachelX + 1 58130 KachelY 90030 -0.35502068 -0.97127047 -20.341187 -55.649699
    Unten links KachelX 58129 KachelY + 1 90031 -0.35506862 -0.97129752 -20.343933 -55.651249
    Unten rechts KachelX + 1 58130 KachelY + 1 90031 -0.35502068 -0.97129752 -20.341187 -55.651249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97127047--0.97129752) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dl = 172.335550000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97127047--0.97129752) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dr = 172.335550000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(-0.97127047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56425108266682 × 6371000     		do = 172.336804469401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35506862--0.35502068) × cos(-0.97129752) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564228749892654 × 6371000     		du = 172.329983465325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97127047)-sin(-0.97129752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56425108266682-0.564228749892654)×R²
    abs(-0.35502068--0.35506862)×2.23327741664114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23327741664114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23327741664114e-05×40589641000000     		ar = 29699.1702347328m²