Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58127 / 90803
↖ ↑ ↗
← S 56.829441°
W 20.349426°		 ← 167.11 m → S 56.829441°
W 20.346680°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
S 56.830944°
W 20.349426°		 ← 167.10 m →
27 925 m²		 S 56.830944°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443477630615234 y=0.692775726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443477630615234 × 217)
    floor (0.443477630615234 × 131072)
    floor (58127.5)     		tx = 58127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692775726318359 × 217)
    floor (0.692775726318359 × 131072)
    floor (90803.5)     		ty = 90803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58127 / 90803 ti = "17/58127/90803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58127/90803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58127 ÷ 217
    58127 ÷ 131072     		x = 0.443473815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90803 ÷ 217
    90803 ÷ 131072     		y = 0.692771911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443473815917969 × 2 - 1) × π
    -0.113052368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35516449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692771911621094 × 2 - 1) × π
    -0.385543823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.21122164269996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35516449} λ = -0.35516449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21122164269996))-π/2
    2×atan(0.297833211326173)-π/2
    2×0.289467731376853-π/2
    0.578935462753707-1.57079632675     		φ = -0.99186086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35516449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.349426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99186086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.829441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58127 KachelY 90803 -0.35516449 -0.99186086 -20.349426 -56.829441
    Oben rechts KachelX + 1 58128 KachelY 90803 -0.35511655 -0.99186086 -20.346680 -56.829441
    Unten links KachelX 58127 KachelY + 1 90804 -0.35516449 -0.99188709 -20.349426 -56.830944
    Unten rechts KachelX + 1 58128 KachelY + 1 90804 -0.35511655 -0.99188709 -20.346680 -56.830944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99186086--0.99188709) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dl = 167.111330000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99186086--0.99188709) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dr = 167.111330000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.99186086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547133184175577 × 6371000     		do = 167.108557655466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.99188709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547111228282178 × 6371000     		du = 167.101851760477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99186086)-sin(-0.99188709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547133184175577-0.547111228282178)×R²
    abs(-0.35511655--0.35516449)×2.19558933987063e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19558933987063e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19558933987063e-05×40589641000000     		ar = 27925.1730102685m²