Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58127 / 89904
↖ ↑ ↗
← S 55.453941°
W 20.349426°		 ← 173.20 m → S 55.453941°
W 20.346680°		 →
↑
173.16 m
↓
↑
173.16 m
↓
S 55.455499°
W 20.349426°		 ← 173.19 m →
29 991 m²		 S 55.455499°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443477630615234 y=0.685916900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443477630615234 × 217)
    floor (0.443477630615234 × 131072)
    floor (58127.5)     		tx = 58127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685916900634766 × 217)
    floor (0.685916900634766 × 131072)
    floor (89904.5)     		ty = 89904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58127 / 89904 ti = "17/58127/89904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58127/89904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58127 ÷ 217
    58127 ÷ 131072     		x = 0.443473815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89904 ÷ 217
    89904 ÷ 131072     		y = 0.6859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443473815917969 × 2 - 1) × π
    -0.113052368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35516449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16812636994153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35516449} λ = -0.35516449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16812636994153))-π/2
    2×atan(0.310948999206147)-π/2
    2×0.301471233703731-π/2
    0.602942467407461-1.57079632675     		φ = -0.96785386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35516449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.349426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96785386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.453941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58127 KachelY 89904 -0.35516449 -0.96785386 -20.349426 -55.453941
    Oben rechts KachelX + 1 58128 KachelY 89904 -0.35511655 -0.96785386 -20.346680 -55.453941
    Unten links KachelX 58127 KachelY + 1 89905 -0.35516449 -0.96788104 -20.349426 -55.455499
    Unten rechts KachelX + 1 58128 KachelY + 1 89905 -0.35511655 -0.96788104 -20.346680 -55.455499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96785386--0.96788104) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dl = 173.163780000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96785386--0.96788104) × R
    2.71800000000155e-05 × 6371000     		dr = 173.163780000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.96785386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567068548165355 × 6371000     		do = 173.197330954216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.96788104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567046160588916 × 6371000     		du = 173.190493212116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96785386)-sin(-0.96788104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567068548165355-0.567046160588916)×R²
    abs(-0.35511655--0.35516449)×2.23875764390202e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23875764390202e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23875764390202e-05×40589641000000     		ar = 29990.9124911743m²