Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58127 / 87555
↖ ↑ ↗
← S 51.623132°
W 20.349426°		 ← 189.62 m → S 51.623132°
W 20.346680°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
S 51.624837°
W 20.349426°		 ← 189.61 m →
35 951 m²		 S 51.624837°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443477630615234 y=0.667995452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443477630615234 × 217)
    floor (0.443477630615234 × 131072)
    floor (58127.5)     		tx = 58127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667995452880859 × 217)
    floor (0.667995452880859 × 131072)
    floor (87555.5)     		ty = 87555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58127 / 87555 ti = "17/58127/87555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58127/87555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58127 ÷ 217
    58127 ÷ 131072     		x = 0.443473815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87555 ÷ 217
    87555 ÷ 131072     		y = 0.667991638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443473815917969 × 2 - 1) × π
    -0.113052368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35516449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667991638183594 × 2 - 1) × π
    -0.335983276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.05552259273402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35516449} λ = -0.35516449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05552259273402))-π/2
    2×atan(0.348010512011593)-π/2
    2×0.334901348734501-π/2
    0.669802697469001-1.57079632675     		φ = -0.90099363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35516449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.349426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90099363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.623132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58127 KachelY 87555 -0.35516449 -0.90099363 -20.349426 -51.623132
    Oben rechts KachelX + 1 58128 KachelY 87555 -0.35511655 -0.90099363 -20.346680 -51.623132
    Unten links KachelX 58127 KachelY + 1 87556 -0.35516449 -0.90102339 -20.349426 -51.624837
    Unten rechts KachelX + 1 58128 KachelY + 1 87556 -0.35511655 -0.90102339 -20.346680 -51.624837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90099363--0.90102339) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90099363--0.90102339) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.90099363) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620831324423612 × 6371000     		do = 189.617866677357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35516449--0.35511655) × cos(-0.90102339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		du = 189.610740956329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90099363)-sin(-0.90102339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620831324423612-0.6208079939701)×R²
    abs(-0.35511655--0.35516449)×2.33304535114387e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33304535114387e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33304535114387e-05×40589641000000     		ar = 35951.0540359544m²