Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58125 / 88779
↖ ↑ ↗
← S 53.662544°
W 20.354919°		 ← 180.94 m → S 53.662544°
W 20.352173°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
S 53.664171°
W 20.354919°		 ← 180.93 m →
32 749 m²		 S 53.664171°
W 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443462371826172 y=0.677333831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443462371826172 × 217)
    floor (0.443462371826172 × 131072)
    floor (58125.5)     		tx = 58125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677333831787109 × 217)
    floor (0.677333831787109 × 131072)
    floor (88779.5)     		ty = 88779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58125 / 88779 ti = "17/58125/88779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58125/88779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58125 ÷ 217
    58125 ÷ 131072     		x = 0.443458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88779 ÷ 217
    88779 ÷ 131072     		y = 0.677330017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443458557128906 × 2 - 1) × π
    -0.113082885742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35526036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677330017089844 × 2 - 1) × π
    -0.354660034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.11419735786897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35526036} λ = -0.35526036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11419735786897))-π/2
    2×atan(0.328178583173259)-π/2
    2×0.317104127287569-π/2
    0.634208254575138-1.57079632675     		φ = -0.93658807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35526036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.354919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93658807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.662544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58125 KachelY 88779 -0.35526036 -0.93658807 -20.354919 -53.662544
    Oben rechts KachelX + 1 58126 KachelY 88779 -0.35521243 -0.93658807 -20.352173 -53.662544
    Unten links KachelX 58125 KachelY + 1 88780 -0.35526036 -0.93661648 -20.354919 -53.664171
    Unten rechts KachelX + 1 58126 KachelY + 1 88780 -0.35521243 -0.93661648 -20.352173 -53.664171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93658807--0.93661648) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93658807--0.93661648) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(-0.93658807) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.592539918458285 × 6371000     		do = 180.939192356357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(-0.93661648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.59251703279684 × 6371000     		du = 180.932203944321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93658807)-sin(-0.93661648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592539918458285-0.59251703279684)×R²
    abs(-0.35521243--0.35526036)×2.28856614450379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28856614450379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28856614450379e-05×40589641000000     		ar = 32749.3812701974m²