Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58125 / 87501
↖ ↑ ↗
← S 51.530960°
W 20.354919°		 ← 189.96 m → S 51.530960°
W 20.352173°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
S 51.532669°
W 20.354919°		 ← 189.96 m →
36 089 m²		 S 51.532669°
W 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443462371826172 y=0.667583465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443462371826172 × 217)
    floor (0.443462371826172 × 131072)
    floor (58125.5)     		tx = 58125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667583465576172 × 217)
    floor (0.667583465576172 × 131072)
    floor (87501.5)     		ty = 87501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58125 / 87501 ti = "17/58125/87501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58125/87501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58125 ÷ 217
    58125 ÷ 131072     		x = 0.443458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87501 ÷ 217
    87501 ÷ 131072     		y = 0.667579650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443458557128906 × 2 - 1) × π
    -0.113082885742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35526036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667579650878906 × 2 - 1) × π
    -0.335159301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.05293400015453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35526036} λ = -0.35526036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05293400015453))-π/2
    2×atan(0.348912536423727)-π/2
    2×0.335705703936355-π/2
    0.671411407872709-1.57079632675     		φ = -0.89938492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35526036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.354919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89938492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.530960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58125 KachelY 87501 -0.35526036 -0.89938492 -20.354919 -51.530960
    Oben rechts KachelX + 1 58126 KachelY 87501 -0.35521243 -0.89938492 -20.352173 -51.530960
    Unten links KachelX 58125 KachelY + 1 87502 -0.35526036 -0.89941474 -20.354919 -51.532669
    Unten rechts KachelX + 1 58126 KachelY + 1 87502 -0.35521243 -0.89941474 -20.352173 -51.532669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89938492--0.89941474) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89938492--0.89941474) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(-0.89938492) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.622091659371062 × 6371000     		do = 189.963171951512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35526036--0.35521243) × cos(-0.89941474) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62206831169182 × 6371000     		du = 189.956042456783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89938492)-sin(-0.89941474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622091659371062-0.62206831169182)×R²
    abs(-0.35521243--0.35526036)×2.33476792411702e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33476792411702e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33476792411702e-05×40589641000000     		ar = 36089.1378491127m²