Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58113 / 89117
↖ ↑ ↗
← S 54.209042°
W 20.387879°		 ← 178.62 m → S 54.209042°
W 20.385132°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 54.210649°
W 20.387879°		 ← 178.62 m →
31 909 m²		 S 54.210649°
W 20.385132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443370819091797 y=0.679912567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443370819091797 × 217)
    floor (0.443370819091797 × 131072)
    floor (58113.5)     		tx = 58113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679912567138672 × 217)
    floor (0.679912567138672 × 131072)
    floor (89117.5)     		ty = 89117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58113 / 89117 ti = "17/58113/89117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58113/89117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58113 ÷ 217
    58113 ÷ 131072     		x = 0.443367004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89117 ÷ 217
    89117 ÷ 131072     		y = 0.679908752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443367004394531 × 2 - 1) × π
    -0.113265991210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35583561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679908752441406 × 2 - 1) × π
    -0.359817504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.13040002994054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35583561} λ = -0.35583561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13040002994054))-π/2
    2×atan(0.322904059290976)-π/2
    2×0.312335025995724-π/2
    0.624670051991448-1.57079632675     		φ = -0.94612627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35583561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.387879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94612627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.209042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58113 KachelY 89117 -0.35583561 -0.94612627 -20.387879 -54.209042
    Oben rechts KachelX + 1 58114 KachelY 89117 -0.35578767 -0.94612627 -20.385132 -54.209042
    Unten links KachelX 58113 KachelY + 1 89118 -0.35583561 -0.94615431 -20.387879 -54.210649
    Unten rechts KachelX + 1 58114 KachelY + 1 89118 -0.35578767 -0.94615431 -20.385132 -54.210649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94612627--0.94615431) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94612627--0.94615431) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35583561--0.35578767) × cos(-0.94612627) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584829669326866 × 6371000     		do = 178.622034528203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35583561--0.35578767) × cos(-0.94615431) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584806924279236 × 6371000     		du = 178.615087605199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94612627)-sin(-0.94615431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584829669326866-0.584806924279236)×R²
    abs(-0.35578767--0.35583561)×2.27450476292246e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27450476292246e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27450476292246e-05×40589641000000     		ar = 31908.927027713m²