Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58113 / 87583
↖ ↑ ↗
← S 51.670852°
W 20.387879°		 ← 189.42 m → S 51.670852°
W 20.385132°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
S 51.672555°
W 20.387879°		 ← 189.41 m →
35 877 m²		 S 51.672555°
W 20.385132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443370819091797 y=0.668209075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443370819091797 × 217)
    floor (0.443370819091797 × 131072)
    floor (58113.5)     		tx = 58113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668209075927734 × 217)
    floor (0.668209075927734 × 131072)
    floor (87583.5)     		ty = 87583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58113 / 87583 ti = "17/58113/87583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58113/87583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58113 ÷ 217
    58113 ÷ 131072     		x = 0.443367004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87583 ÷ 217
    87583 ÷ 131072     		y = 0.668205261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443367004394531 × 2 - 1) × π
    -0.113265991210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35583561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668205261230469 × 2 - 1) × π
    -0.336410522460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.05686482592338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35583561} λ = -0.35583561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05686482592338))-π/2
    2×atan(0.347543714098033)-π/2
    2×0.334484917708267-π/2
    0.668969835416534-1.57079632675     		φ = -0.90182649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35583561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.387879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90182649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.670852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58113 KachelY 87583 -0.35583561 -0.90182649 -20.387879 -51.670852
    Oben rechts KachelX + 1 58114 KachelY 87583 -0.35578767 -0.90182649 -20.385132 -51.670852
    Unten links KachelX 58113 KachelY + 1 87584 -0.35583561 -0.90185622 -20.387879 -51.672555
    Unten rechts KachelX + 1 58114 KachelY + 1 87584 -0.35578767 -0.90185622 -20.385132 -51.672555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90182649--0.90185622) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dl = 189.409829999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90182649--0.90185622) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dr = 189.409829999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35583561--0.35578767) × cos(-0.90182649) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62017819343344 × 6371000     		do = 189.418383661367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35583561--0.35578767) × cos(-0.90185622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.620154871134822 × 6371000     		du = 189.411260431053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90182649)-sin(-0.90185622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62017819343344-0.620154871134822)×R²
    abs(-0.35578767--0.35583561)×2.33222986180115e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33222986180115e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33222986180115e-05×40589641000000     		ar = 35877.0292458996m²