Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58112 / 89814
↖ ↑ ↗
← S 55.313517°
W 20.390625°		 ← 173.78 m → S 55.313517°
W 20.387879°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
S 55.315080°
W 20.390625°		 ← 173.77 m →
30 202 m²		 S 55.315080°
W 20.387879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443363189697266 y=0.685230255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443363189697266 × 217)
    floor (0.443363189697266 × 131072)
    floor (58112.5)     		tx = 58112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685230255126953 × 217)
    floor (0.685230255126953 × 131072)
    floor (89814.5)     		ty = 89814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58112 / 89814 ti = "17/58112/89814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58112/89814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58112 ÷ 217
    58112 ÷ 131072     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89814 ÷ 217
    89814 ÷ 131072     		y = 0.685226440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685226440429688 × 2 - 1) × π
    -0.370452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16381204897572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16381204897572))-π/2
    2×atan(0.312293431062625)-π/2
    2×0.302696666391062-π/2
    0.605393332782125-1.57079632675     		φ = -0.96540299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96540299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.313517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58112 KachelY 89814 -0.35588354 -0.96540299 -20.390625 -55.313517
    Oben rechts KachelX + 1 58113 KachelY 89814 -0.35583561 -0.96540299 -20.387879 -55.313517
    Unten links KachelX 58112 KachelY + 1 89815 -0.35588354 -0.96543027 -20.390625 -55.315080
    Unten rechts KachelX + 1 58113 KachelY + 1 89815 -0.35583561 -0.96543027 -20.387879 -55.315080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96540299--0.96543027) × R
    2.72800000000739e-05 × 6371000     		dl = 173.800880000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96540299--0.96543027) × R
    2.72800000000739e-05 × 6371000     		dr = 173.800880000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35583561) × cos(-0.96540299) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569085552591756 × 6371000     		do = 173.777119582996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35583561) × cos(-0.96543027) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569063120627461 × 6371000     		du = 173.770269712842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96540299)-sin(-0.96543027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569085552591756-0.569063120627461)×R²
    abs(-0.35583561--0.35588354)×2.24319642948556e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24319642948556e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24319642948556e-05×40589641000000     		ar = 30202.0210526832m²