Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58108 / 89804
↖ ↑ ↗
← S 55.297884°
W 20.401611°		 ← 173.88 m → S 55.297884°
W 20.398865°		 →
↑
173.86 m
↓
↑
173.86 m
↓
S 55.299447°
W 20.401611°		 ← 173.88 m →
30 231 m²		 S 55.299447°
W 20.398865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443332672119141 y=0.685153961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443332672119141 × 217)
    floor (0.443332672119141 × 131072)
    floor (58108.5)     		tx = 58108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685153961181641 × 217)
    floor (0.685153961181641 × 131072)
    floor (89804.5)     		ty = 89804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58108 / 89804 ti = "17/58108/89804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58108/89804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58108 ÷ 217
    58108 ÷ 131072     		x = 0.443328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89804 ÷ 217
    89804 ÷ 131072     		y = 0.685150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443328857421875 × 2 - 1) × π
    -0.11334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35607529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685150146484375 × 2 - 1) × π
    -0.37030029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16333267997952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35607529} λ = -0.35607529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16333267997952))-π/2
    2×atan(0.312443170738605)-π/2
    2×0.302833094260071-π/2
    0.605666188520143-1.57079632675     		φ = -0.96513014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35607529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96513014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.297884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58108 KachelY 89804 -0.35607529 -0.96513014 -20.401611 -55.297884
    Oben rechts KachelX + 1 58109 KachelY 89804 -0.35602735 -0.96513014 -20.398865 -55.297884
    Unten links KachelX 58108 KachelY + 1 89805 -0.35607529 -0.96515743 -20.401611 -55.299447
    Unten rechts KachelX + 1 58109 KachelY + 1 89805 -0.35602735 -0.96515743 -20.398865 -55.299447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96513014--0.96515743) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dl = 173.864590000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96513014--0.96515743) × R
    2.72900000000131e-05 × 6371000     		dr = 173.864590000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35607529--0.35602735) × cos(-0.96513014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56930989004491 × 6371000     		do = 173.881894456171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35607529--0.35602735) × cos(-0.96515743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569287454095883 × 6371000     		du = 173.875041939837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96513014)-sin(-0.96515743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56930989004491-0.569287454095883)×R²
    abs(-0.35602735--0.35607529)×2.24359490269554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24359490269554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24359490269554e-05×40589641000000     		ar = 30231.3085849699m²