Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58108 / 87744
↖ ↑ ↗
← S 51.944265°
W 20.401611°		 ← 188.27 m → S 51.944265°
W 20.398865°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
S 51.945958°
W 20.401611°		 ← 188.27 m →
35 444 m²		 S 51.945958°
W 20.398865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443332672119141 y=0.669437408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443332672119141 × 217)
    floor (0.443332672119141 × 131072)
    floor (58108.5)     		tx = 58108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669437408447266 × 217)
    floor (0.669437408447266 × 131072)
    floor (87744.5)     		ty = 87744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58108 / 87744 ti = "17/58108/87744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58108/87744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58108 ÷ 217
    58108 ÷ 131072     		x = 0.443328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87744 ÷ 217
    87744 ÷ 131072     		y = 0.66943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443328857421875 × 2 - 1) × π
    -0.11334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35607529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66943359375 × 2 - 1) × π
    -0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35607529} λ = -0.35607529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06458266676221))-π/2
    2×atan(0.344871751183298)-π/2
    2×0.332098938573274-π/2
    0.664197877146547-1.57079632675     		φ = -0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35607529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58108 KachelY 87744 -0.35607529 -0.90659845 -20.401611 -51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 58109 KachelY 87744 -0.35602735 -0.90659845 -20.398865 -51.944265
    Unten links KachelX 58108 KachelY + 1 87745 -0.35607529 -0.90662800 -20.401611 -51.945958
    Unten rechts KachelX + 1 58109 KachelY + 1 87745 -0.35602735 -0.90662800 -20.398865 -51.945958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90659845--0.90662800) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90659845--0.90662800) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35607529--0.35602735) × cos(-0.90659845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 188.272895614101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35607529--0.35602735) × cos(-0.90662800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616404461794878 × 6371000     		du = 188.265788882879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90659845)-sin(-0.90662800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616404461794878)×R²
    abs(-0.35602735--0.35607529)×2.32682786407423e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32682786407423e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32682786407423e-05×40589641000000     		ar = 35444.1605959367m²