Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58106 / 89894
↖ ↑ ↗
← S 55.438363°
W 20.407104°		 ← 173.23 m → S 55.438363°
W 20.404358°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
S 55.439921°
W 20.407104°		 ← 173.22 m →
30 008 m²		 S 55.439921°
W 20.404358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443317413330078 y=0.685840606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443317413330078 × 217)
    floor (0.443317413330078 × 131072)
    floor (58106.5)     		tx = 58106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685840606689453 × 217)
    floor (0.685840606689453 × 131072)
    floor (89894.5)     		ty = 89894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58106 / 89894 ti = "17/58106/89894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58106/89894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58106 ÷ 217
    58106 ÷ 131072     		x = 0.443313598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89894 ÷ 217
    89894 ÷ 131072     		y = 0.685836791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443313598632812 × 2 - 1) × π
    -0.113372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35617116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685836791992188 × 2 - 1) × π
    -0.371673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16764700094533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35617116} λ = -0.35617116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16764700094533))-π/2
    2×atan(0.311098094248681)-π/2
    2×0.301607178079051-π/2
    0.603214356158102-1.57079632675     		φ = -0.96758197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35617116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.407104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96758197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.438363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58106 KachelY 89894 -0.35617116 -0.96758197 -20.407104 -55.438363
    Oben rechts KachelX + 1 58107 KachelY 89894 -0.35612323 -0.96758197 -20.404358 -55.438363
    Unten links KachelX 58106 KachelY + 1 89895 -0.35617116 -0.96760916 -20.407104 -55.439921
    Unten rechts KachelX + 1 58107 KachelY + 1 89895 -0.35612323 -0.96760916 -20.404358 -55.439921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96758197--0.96760916) × R
    2.71899999999548e-05 × 6371000     		dl = 173.227489999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96758197--0.96760916) × R
    2.71899999999548e-05 × 6371000     		dr = 173.227489999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35617116--0.35612323) × cos(-0.96758197) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.567292475002716 × 6371000     		do = 173.229581770459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35617116--0.35612323) × cos(-0.96760916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.567270083382323 × 6371000     		du = 173.222744219801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96758197)-sin(-0.96760916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567292475002716-0.567270083382323)×R²
    abs(-0.35612323--0.35617116)×2.23916203928587e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23916203928587e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23916203928587e-05×40589641000000     		ar = 30007.533419811m²