Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58106 / 89558
↖ ↑ ↗
← S 54.911357°
W 20.407104°		 ← 175.54 m → S 54.911357°
W 20.404358°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
S 54.912935°
W 20.407104°		 ← 175.53 m →
30 810 m²		 S 54.912935°
W 20.404358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443317413330078 y=0.683277130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443317413330078 × 217)
    floor (0.443317413330078 × 131072)
    floor (58106.5)     		tx = 58106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683277130126953 × 217)
    floor (0.683277130126953 × 131072)
    floor (89558.5)     		ty = 89558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58106 / 89558 ti = "17/58106/89558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58106/89558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58106 ÷ 217
    58106 ÷ 131072     		x = 0.443313598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89558 ÷ 217
    89558 ÷ 131072     		y = 0.683273315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443313598632812 × 2 - 1) × π
    -0.113372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35617116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683273315429688 × 2 - 1) × π
    -0.366546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15154020267299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35617116} λ = -0.35617116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15154020267299))-π/2
    2×atan(0.316149459954462)-π/2
    2×0.306206180237794-π/2
    0.612412360475588-1.57079632675     		φ = -0.95838397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35617116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.407104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95838397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.911357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58106 KachelY 89558 -0.35617116 -0.95838397 -20.407104 -54.911357
    Oben rechts KachelX + 1 58107 KachelY 89558 -0.35612323 -0.95838397 -20.404358 -54.911357
    Unten links KachelX 58106 KachelY + 1 89559 -0.35617116 -0.95841152 -20.407104 -54.912935
    Unten rechts KachelX + 1 58107 KachelY + 1 89559 -0.35612323 -0.95841152 -20.404358 -54.912935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95838397--0.95841152) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95838397--0.95841152) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35617116--0.35612323) × cos(-0.95838397) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.57484307475762 × 6371000     		do = 175.535248239333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35617116--0.35612323) × cos(-0.95841152) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.574820531375264 × 6371000     		du = 175.528364346333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95838397)-sin(-0.95841152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57484307475762-0.574820531375264)×R²
    abs(-0.35612323--0.35617116)×2.25433823562993e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25433823562993e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25433823562993e-05×40589641000000     		ar = 30809.5269507723m²