Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58105 / 90785
↖ ↑ ↗
← S 56.802382°
W 20.409851°		 ← 167.23 m → S 56.802382°
W 20.407104°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
S 56.803886°
W 20.409851°		 ← 167.22 m →
27 967 m²		 S 56.803886°
W 20.407104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443309783935547 y=0.692638397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443309783935547 × 217)
    floor (0.443309783935547 × 131072)
    floor (58105.5)     		tx = 58105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692638397216797 × 217)
    floor (0.692638397216797 × 131072)
    floor (90785.5)     		ty = 90785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58105 / 90785 ti = "17/58105/90785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58105/90785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58105 ÷ 217
    58105 ÷ 131072     		x = 0.443305969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90785 ÷ 217
    90785 ÷ 131072     		y = 0.692634582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443305969238281 × 2 - 1) × π
    -0.113388061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35621910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692634582519531 × 2 - 1) × π
    -0.385269165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.2103587785068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35621910} λ = -0.35621910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2103587785068))-π/2
    2×atan(0.298090311845225)-π/2
    2×0.289703867448537-π/2
    0.579407734897074-1.57079632675     		φ = -0.99138859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35621910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.409851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99138859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.802382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58105 KachelY 90785 -0.35621910 -0.99138859 -20.409851 -56.802382
    Oben rechts KachelX + 1 58106 KachelY 90785 -0.35617116 -0.99138859 -20.407104 -56.802382
    Unten links KachelX 58105 KachelY + 1 90786 -0.35621910 -0.99141484 -20.409851 -56.803886
    Unten rechts KachelX + 1 58106 KachelY + 1 90786 -0.35617116 -0.99141484 -20.407104 -56.803886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99138859--0.99141484) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dl = 167.238750000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99138859--0.99141484) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dr = 167.238750000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35621910--0.35617116) × cos(-0.99138859) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54752843465411 × 6371000     		do = 167.229277325357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35621910--0.35617116) × cos(-0.99141484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547506468804685 × 6371000     		du = 167.222568389542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99138859)-sin(-0.99141484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54752843465411-0.547506468804685)×R²
    abs(-0.35617116--0.35621910)×2.1965849425265e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1965849425265e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1965849425265e-05×40589641000000     		ar = 27966.6543079319m²