Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58103 / 89091
↖ ↑ ↗
← S 54.167258°
W 20.415344°		 ← 178.77 m → S 54.167258°
W 20.412598°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
S 54.168866°
W 20.415344°		 ← 178.76 m →
31 957 m²		 S 54.168866°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443294525146484 y=0.679714202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443294525146484 × 217)
    floor (0.443294525146484 × 131072)
    floor (58103.5)     		tx = 58103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679714202880859 × 217)
    floor (0.679714202880859 × 131072)
    floor (89091.5)     		ty = 89091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58103 / 89091 ti = "17/58103/89091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58103/89091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58103 ÷ 217
    58103 ÷ 131072     		x = 0.443290710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89091 ÷ 217
    89091 ÷ 131072     		y = 0.679710388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443290710449219 × 2 - 1) × π
    -0.113418579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35631497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679710388183594 × 2 - 1) × π
    -0.359420776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.12915367055042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35631497} λ = -0.35631497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12915367055042))-π/2
    2×atan(0.323306764703087)-π/2
    2×0.312699664228112-π/2
    0.625399328456224-1.57079632675     		φ = -0.94539700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35631497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.415344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94539700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.167258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58103 KachelY 89091 -0.35631497 -0.94539700 -20.415344 -54.167258
    Oben rechts KachelX + 1 58104 KachelY 89091 -0.35626704 -0.94539700 -20.412598 -54.167258
    Unten links KachelX 58103 KachelY + 1 89092 -0.35631497 -0.94542506 -20.415344 -54.168866
    Unten rechts KachelX + 1 58104 KachelY + 1 89092 -0.35626704 -0.94542506 -20.412598 -54.168866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94539700--0.94542506) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94539700--0.94542506) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35631497--0.35626704) × cos(-0.94539700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585421065584789 × 6371000     		do = 178.765364991844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35631497--0.35626704) × cos(-0.94542506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585398316287083 × 6371000     		du = 178.758418220115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94539700)-sin(-0.94542506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585421065584789-0.585398316287083)×R²
    abs(-0.35626704--0.35631497)×2.27492977066257e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27492977066257e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27492977066257e-05×40589641000000     		ar = 31957.3098425291m²