Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58102 / 89799
↖ ↑ ↗
← S 55.290065°
W 20.418091°		 ← 173.92 m → S 55.290065°
W 20.415344°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
S 55.291629°
W 20.418091°		 ← 173.91 m →
30 248 m²		 S 55.291629°
W 20.415344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443286895751953 y=0.685115814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443286895751953 × 217)
    floor (0.443286895751953 × 131072)
    floor (58102.5)     		tx = 58102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685115814208984 × 217)
    floor (0.685115814208984 × 131072)
    floor (89799.5)     		ty = 89799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58102 / 89799 ti = "17/58102/89799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58102/89799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58102 ÷ 217
    58102 ÷ 131072     		x = 0.443283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89799 ÷ 217
    89799 ÷ 131072     		y = 0.685111999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443283081054688 × 2 - 1) × π
    -0.113433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35636291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685111999511719 × 2 - 1) × π
    -0.370223999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16309299548142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35636291} λ = -0.35636291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16309299548142))-π/2
    2×atan(0.312518067498606)-π/2
    2×0.302901328360208-π/2
    0.605802656720416-1.57079632675     		φ = -0.96499367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35636291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.418091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96499367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.290065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58102 KachelY 89799 -0.35636291 -0.96499367 -20.418091 -55.290065
    Oben rechts KachelX + 1 58103 KachelY 89799 -0.35631497 -0.96499367 -20.415344 -55.290065
    Unten links KachelX 58102 KachelY + 1 89800 -0.35636291 -0.96502097 -20.418091 -55.291629
    Unten rechts KachelX + 1 58103 KachelY + 1 89800 -0.35631497 -0.96502097 -20.415344 -55.291629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96499367--0.96502097) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dl = 173.928299999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96499367--0.96502097) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dr = 173.928299999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35636291--0.35631497) × cos(-0.96499367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569422079870764 × 6371000     		do = 173.916160116753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35636291--0.35631497) × cos(-0.96502097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.569399637821557 × 6371000     		du = 173.909305737267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96499367)-sin(-0.96502097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569422079870764-0.569399637821557)×R²
    abs(-0.35631497--0.35636291)×2.24420492065391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24420492065391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24420492065391e-05×40589641000000     		ar = 30248.3459880928m²