Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58101 / 90798
↖ ↑ ↗
← S 56.821927°
W 20.420837°		 ← 167.14 m → S 56.821927°
W 20.418091°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
S 56.823430°
W 20.420837°		 ← 167.14 m →
27 931 m²		 S 56.823430°
W 20.418091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443279266357422 y=0.692737579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443279266357422 × 217)
    floor (0.443279266357422 × 131072)
    floor (58101.5)     		tx = 58101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692737579345703 × 217)
    floor (0.692737579345703 × 131072)
    floor (90798.5)     		ty = 90798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58101 / 90798 ti = "17/58101/90798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58101/90798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58101 ÷ 217
    58101 ÷ 131072     		x = 0.443275451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90798 ÷ 217
    90798 ÷ 131072     		y = 0.692733764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443275451660156 × 2 - 1) × π
    -0.113449096679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35641085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.385467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.21098195820186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35641085} λ = -0.35641085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21098195820186))-π/2
    2×atan(0.29790460588569)-π/2
    2×0.28953330762554-π/2
    0.579066615251079-1.57079632675     		φ = -0.99172971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35641085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.420837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99172971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.821927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58101 KachelY 90798 -0.35641085 -0.99172971 -20.420837 -56.821927
    Oben rechts KachelX + 1 58102 KachelY 90798 -0.35636291 -0.99172971 -20.418091 -56.821927
    Unten links KachelX 58101 KachelY + 1 90799 -0.35641085 -0.99175594 -20.420837 -56.823430
    Unten rechts KachelX + 1 58102 KachelY + 1 90799 -0.35636291 -0.99175594 -20.418091 -56.823430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99172971--0.99175594) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dl = 167.111330000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99172971--0.99175594) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dr = 167.111330000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35641085--0.35636291) × cos(-0.99172971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547242957995748 × 6371000     		do = 167.142085405724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35641085--0.35636291) × cos(-0.99175594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547221003984674 × 6371000     		du = 167.135380085646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99172971)-sin(-0.99175594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547242957995748-0.547221003984674)×R²
    abs(-0.35636291--0.35641085)×2.19540110742988e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19540110742988e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19540110742988e-05×40589641000000     		ar = 27930.7759253761m²