Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58100 / 89093
↖ ↑ ↗
← S 54.170474°
W 20.423584°		 ← 178.79 m → S 54.170474°
W 20.420837°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
S 54.172081°
W 20.423584°		 ← 178.78 m →
31 961 m²		 S 54.172081°
W 20.420837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443271636962891 y=0.679729461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443271636962891 × 217)
    floor (0.443271636962891 × 131072)
    floor (58100.5)     		tx = 58100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679729461669922 × 217)
    floor (0.679729461669922 × 131072)
    floor (89093.5)     		ty = 89093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58100 / 89093 ti = "17/58100/89093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58100/89093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58100 ÷ 217
    58100 ÷ 131072     		x = 0.443267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89093 ÷ 217
    89093 ÷ 131072     		y = 0.679725646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.11346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35645879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679725646972656 × 2 - 1) × π
    -0.359451293945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.12924954434966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35645879} λ = -0.35645879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12924954434966))-π/2
    2×atan(0.32327576954107)-π/2
    2×0.312671602047825-π/2
    0.625343204095649-1.57079632675     		φ = -0.94545312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35645879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.423584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94545312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.170474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58100 KachelY 89093 -0.35645879 -0.94545312 -20.423584 -54.170474
    Oben rechts KachelX + 1 58101 KachelY 89093 -0.35641085 -0.94545312 -20.420837 -54.170474
    Unten links KachelX 58100 KachelY + 1 89094 -0.35645879 -0.94548118 -20.423584 -54.172081
    Unten rechts KachelX + 1 58101 KachelY + 1 89094 -0.35641085 -0.94548118 -20.420837 -54.172081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94545312--0.94548118) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94545312--0.94548118) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35645879--0.35641085) × cos(-0.94545312) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585375566528455 × 6371000     		do = 178.788765584962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35645879--0.35641085) × cos(-0.94548118) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585352816308923 × 6371000     		du = 178.781817082327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94545312)-sin(-0.94548118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585375566528455-0.585352816308923)×R²
    abs(-0.35641085--0.35645879)×2.27502195313534e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27502195313534e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27502195313534e-05×40589641000000     		ar = 31961.4930180346m²