Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58099 / 89811
↖ ↑ ↗
← S 55.308828°
W 20.426330°		 ← 173.80 m → S 55.308828°
W 20.423584°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
S 55.310391°
W 20.426330°		 ← 173.79 m →
30 206 m²		 S 55.310391°
W 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443264007568359 y=0.685207366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443264007568359 × 217)
    floor (0.443264007568359 × 131072)
    floor (58099.5)     		tx = 58099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685207366943359 × 217)
    floor (0.685207366943359 × 131072)
    floor (89811.5)     		ty = 89811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58099 / 89811 ti = "17/58099/89811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58099/89811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58099 ÷ 217
    58099 ÷ 131072     		x = 0.443260192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89811 ÷ 217
    89811 ÷ 131072     		y = 0.685203552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443260192871094 × 2 - 1) × π
    -0.113479614257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35650672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685203552246094 × 2 - 1) × π
    -0.370407104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.16366823827686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35650672} λ = -0.35650672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16366823827686))-π/2
    2×atan(0.312338345428701)-π/2
    2×0.302737589105852-π/2
    0.605475178211703-1.57079632675     		φ = -0.96532115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35650672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.426330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96532115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.308828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58099 KachelY 89811 -0.35650672 -0.96532115 -20.426330 -55.308828
    Oben rechts KachelX + 1 58100 KachelY 89811 -0.35645879 -0.96532115 -20.423584 -55.308828
    Unten links KachelX 58099 KachelY + 1 89812 -0.35650672 -0.96534843 -20.426330 -55.310391
    Unten rechts KachelX + 1 58100 KachelY + 1 89812 -0.35645879 -0.96534843 -20.423584 -55.310391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96532115--0.96534843) × R
    2.72800000000739e-05 × 6371000     		dl = 173.800880000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96532115--0.96534843) × R
    2.72800000000739e-05 × 6371000     		dr = 173.800880000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35650672--0.35645879) × cos(-0.96532115) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569152845943498 × 6371000     		do = 173.797668417489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35650672--0.35645879) × cos(-0.96534843) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.569130415249791 × 6371000     		du = 173.790818935324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96532115)-sin(-0.96534843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569152845943498-0.569130415249791)×R²
    abs(-0.35645879--0.35650672)×2.24306937069985e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24306937069985e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24306937069985e-05×40589641000000     		ar = 30205.5924919296m²