Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58096 / 90766
↖ ↑ ↗
← S 56.773798°
W 20.434570°		 ← 167.32 m → S 56.773798°
W 20.431824°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
S 56.775304°
W 20.434570°		 ← 167.32 m →
28 003 m²		 S 56.775304°
W 20.431824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443241119384766 y=0.692493438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443241119384766 × 217)
    floor (0.443241119384766 × 131072)
    floor (58096.5)     		tx = 58096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692493438720703 × 217)
    floor (0.692493438720703 × 131072)
    floor (90766.5)     		ty = 90766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58096 / 90766 ti = "17/58096/90766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58096/90766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58096 ÷ 217
    58096 ÷ 131072     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90766 ÷ 217
    90766 ÷ 131072     		y = 0.692489624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692489624023438 × 2 - 1) × π
    -0.384979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20944797741402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20944797741402))-π/2
    2×atan(0.298361936506243)-π/2
    2×0.289953307228543-π/2
    0.579906614457086-1.57079632675     		φ = -0.99088971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99088971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.773798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58096 KachelY 90766 -0.35665053 -0.99088971 -20.434570 -56.773798
    Oben rechts KachelX + 1 58097 KachelY 90766 -0.35660260 -0.99088971 -20.431824 -56.773798
    Unten links KachelX 58096 KachelY + 1 90767 -0.35665053 -0.99091598 -20.434570 -56.775304
    Unten rechts KachelX + 1 58097 KachelY + 1 90767 -0.35660260 -0.99091598 -20.431824 -56.775304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99088971--0.99091598) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99088971--0.99091598) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35660260) × cos(-0.99088971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.547945822839288 × 6371000     		do = 167.321848792328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35660260) × cos(-0.99091598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.547923847432102 × 6371000     		du = 167.315138337379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99088971)-sin(-0.99091598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547945822839288-0.547923847432102)×R²
    abs(-0.35660260--0.35665053)×2.19754071867362e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19754071867362e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19754071867362e-05×40589641000000     		ar = 28003.4554395995m²