Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58095 / 88587
↖ ↑ ↗
← S 53.348912°
W 20.437317°		 ← 182.32 m → S 53.348912°
W 20.434570°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
S 53.350551°
W 20.437317°		 ← 182.31 m →
33 243 m²		 S 53.350551°
W 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443233489990234 y=0.675868988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443233489990234 × 217)
    floor (0.443233489990234 × 131072)
    floor (58095.5)     		tx = 58095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675868988037109 × 217)
    floor (0.675868988037109 × 131072)
    floor (88587.5)     		ty = 88587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58095 / 88587 ti = "17/58095/88587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58095/88587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58095 ÷ 217
    58095 ÷ 131072     		x = 0.443229675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88587 ÷ 217
    88587 ÷ 131072     		y = 0.675865173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443229675292969 × 2 - 1) × π
    -0.113540649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35669847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675865173339844 × 2 - 1) × π
    -0.351730346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.10499347314191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35669847} λ = -0.35669847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10499347314191))-π/2
    2×atan(0.331213044015461)-π/2
    2×0.319841081739441-π/2
    0.639682163478882-1.57079632675     		φ = -0.93111416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35669847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.437317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93111416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.348912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58095 KachelY 88587 -0.35669847 -0.93111416 -20.437317 -53.348912
    Oben rechts KachelX + 1 58096 KachelY 88587 -0.35665053 -0.93111416 -20.434570 -53.348912
    Unten links KachelX 58095 KachelY + 1 88588 -0.35669847 -0.93114278 -20.437317 -53.350551
    Unten rechts KachelX + 1 58096 KachelY + 1 88588 -0.35665053 -0.93114278 -20.434570 -53.350551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93111416--0.93114278) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dl = 182.338019999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93111416--0.93114278) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dr = 182.338019999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35669847--0.35665053) × cos(-0.93111416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596940478537428 × 6371000     		do = 182.320987393128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35669847--0.35665053) × cos(-0.93114278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596917516881201 × 6371000     		du = 182.313974312284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93111416)-sin(-0.93114278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596940478537428-0.596917516881201)×R²
    abs(-0.35665053--0.35669847)×2.29616562266166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29616562266166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29616562266166e-05×40589641000000     		ar = 33243.4084722601m²