Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58094 / 88792
↖ ↑ ↗
← S 53.683695°
W 20.440064°		 ← 180.89 m → S 53.683695°
W 20.437317°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
S 53.685322°
W 20.440064°		 ← 180.88 m →
32 717 m²		 S 53.685322°
W 20.437317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443225860595703 y=0.677433013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443225860595703 × 217)
    floor (0.443225860595703 × 131072)
    floor (58094.5)     		tx = 58094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677433013916016 × 217)
    floor (0.677433013916016 × 131072)
    floor (88792.5)     		ty = 88792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58094 / 88792 ti = "17/58094/88792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58094/88792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58094 ÷ 217
    58094 ÷ 131072     		x = 0.443222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88792 ÷ 217
    88792 ÷ 131072     		y = 0.67742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443222045898438 × 2 - 1) × π
    -0.113555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35674641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.3548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11482053756403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35674641} λ = -0.35674641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11482053756403))-π/2
    2×atan(0.327974132655194)-π/2
    2×0.316919544203412-π/2
    0.633839088406824-1.57079632675     		φ = -0.93695724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35674641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.440064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93695724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.683695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58094 KachelY 88792 -0.35674641 -0.93695724 -20.440064 -53.683695
    Oben rechts KachelX + 1 58095 KachelY 88792 -0.35669847 -0.93695724 -20.437317 -53.683695
    Unten links KachelX 58094 KachelY + 1 88793 -0.35674641 -0.93698563 -20.440064 -53.685322
    Unten rechts KachelX + 1 58095 KachelY + 1 88793 -0.35669847 -0.93698563 -20.437317 -53.685322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93695724--0.93698563) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93695724--0.93698563) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35674641--0.35669847) × cos(-0.93695724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592242496483858 × 6371000     		do = 180.886102748121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35674641--0.35669847) × cos(-0.93698563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592219620724995 × 6371000     		du = 180.879115902542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93695724)-sin(-0.93698563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592242496483858-0.592219620724995)×R²
    abs(-0.35669847--0.35674641)×2.28757588629502e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28757588629502e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28757588629502e-05×40589641000000     		ar = 32716.7241250787m²