Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58093 / 88584
↖ ↑ ↗
← S 53.343993°
W 20.442810°		 ← 182.30 m → S 53.343993°
W 20.440064°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
S 53.345633°
W 20.442810°		 ← 182.30 m →
33 240 m²		 S 53.345633°
W 20.440064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443218231201172 y=0.675846099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443218231201172 × 217)
    floor (0.443218231201172 × 131072)
    floor (58093.5)     		tx = 58093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675846099853516 × 217)
    floor (0.675846099853516 × 131072)
    floor (88584.5)     		ty = 88584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58093 / 88584 ti = "17/58093/88584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58093/88584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58093 ÷ 217
    58093 ÷ 131072     		x = 0.443214416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88584 ÷ 217
    88584 ÷ 131072     		y = 0.67584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443214416503906 × 2 - 1) × π
    -0.113571166992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35679434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.3516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10484966244305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35679434} λ = -0.35679434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10484966244305))-π/2
    2×atan(0.33126067941995)-π/2
    2×0.319884007429171-π/2
    0.639768014858343-1.57079632675     		φ = -0.93102831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35679434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.442810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93102831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.343993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58093 KachelY 88584 -0.35679434 -0.93102831 -20.442810 -53.343993
    Oben rechts KachelX + 1 58094 KachelY 88584 -0.35674641 -0.93102831 -20.440064 -53.343993
    Unten links KachelX 58093 KachelY + 1 88585 -0.35679434 -0.93105693 -20.442810 -53.345633
    Unten rechts KachelX + 1 58094 KachelY + 1 88585 -0.35674641 -0.93105693 -20.440064 -53.345633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93102831--0.93105693) × R
    2.86200000000347e-05 × 6371000     		dl = 182.338020000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93102831--0.93105693) × R
    2.86200000000347e-05 × 6371000     		dr = 182.338020000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35679434--0.35674641) × cos(-0.93102831) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.59700935254995 × 6371000     		do = 182.303987823539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35679434--0.35674641) × cos(-0.93105693) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596986392360479 × 6371000     		du = 182.296976653473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93102831)-sin(-0.93105693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59700935254995-0.596986392360479)×R²
    abs(-0.35674641--0.35679434)×2.29601894713438e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29601894713438e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29601894713438e-05×40589641000000     		ar = 33240.3089785636m²