Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58092 / 90775
↖ ↑ ↗
← S 56.787341°
W 20.445557°		 ← 167.30 m → S 56.787341°
W 20.442810°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
S 56.788845°
W 20.445557°		 ← 167.29 m →
27 989 m²		 S 56.788845°
W 20.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443210601806641 y=0.692562103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443210601806641 × 217)
    floor (0.443210601806641 × 131072)
    floor (58092.5)     		tx = 58092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692562103271484 × 217)
    floor (0.692562103271484 × 131072)
    floor (90775.5)     		ty = 90775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58092 / 90775 ti = "17/58092/90775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58092/90775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58092 ÷ 217
    58092 ÷ 131072     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90775 ÷ 217
    90775 ÷ 131072     		y = 0.692558288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692558288574219 × 2 - 1) × π
    -0.385116577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.2098794095106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2098794095106))-π/2
    2×atan(0.298233241354042)-π/2
    2×0.289835127849173-π/2
    0.579670255698345-1.57079632675     		φ = -0.99112607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99112607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.787341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58092 KachelY 90775 -0.35684228 -0.99112607 -20.445557 -56.787341
    Oben rechts KachelX + 1 58093 KachelY 90775 -0.35679434 -0.99112607 -20.442810 -56.787341
    Unten links KachelX 58092 KachelY + 1 90776 -0.35684228 -0.99115233 -20.445557 -56.788845
    Unten rechts KachelX + 1 58093 KachelY + 1 90776 -0.35679434 -0.99115233 -20.442810 -56.788845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99112607--0.99115233) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99112607--0.99115233) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.99112607) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547748089128259 × 6371000     		do = 167.296365455669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.99115233) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547726118686039 × 6371000     		du = 167.289655117095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99112607)-sin(-0.99115233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547748089128259-0.547726118686039)×R²
    abs(-0.35679434--0.35684228)×2.19704422204092e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19704422204092e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19704422204092e-05×40589641000000     		ar = 27988.5321633079m²