Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58092 / 88768
↖ ↑ ↗
← S 53.644638°
W 20.445557°		 ← 181.05 m → S 53.644638°
W 20.442810°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
S 53.646266°
W 20.445557°		 ← 181.05 m →
32 770 m²		 S 53.646266°
W 20.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443210601806641 y=0.677249908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443210601806641 × 217)
    floor (0.443210601806641 × 131072)
    floor (58092.5)     		tx = 58092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677249908447266 × 217)
    floor (0.677249908447266 × 131072)
    floor (88768.5)     		ty = 88768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58092 / 88768 ti = "17/58092/88768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58092/88768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58092 ÷ 217
    58092 ÷ 131072     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88768 ÷ 217
    88768 ÷ 131072     		y = 0.67724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67724609375 × 2 - 1) × π
    -0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11367005197314))-π/2
    2×atan(0.328351679308344)-π/2
    2×0.317260385365065-π/2
    0.63452077073013-1.57079632675     		φ = -0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58092 KachelY 88768 -0.35684228 -0.93627556 -20.445557 -53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 58093 KachelY 88768 -0.35679434 -0.93627556 -20.442810 -53.644638
    Unten links KachelX 58092 KachelY + 1 88769 -0.35684228 -0.93630397 -20.445557 -53.646266
    Unten rechts KachelX + 1 58093 KachelY + 1 88769 -0.35679434 -0.93630397 -20.442810 -53.646266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93627556--0.93630397) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93627556--0.93630397) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.93627556) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 181.053822003691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.93630397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592768748765628 × 6371000     		du = 181.046833740707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93627556)-sin(-0.93630397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.592768748765628)×R²
    abs(-0.35679434--0.35684228)×2.28803996172866e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28803996172866e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28803996172866e-05×40589641000000     		ar = 32770.1292625722m²