Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58092 / 87816
↖ ↑ ↗
← S 52.066000°
W 20.445557°		 ← 187.76 m → S 52.066000°
W 20.442810°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
S 52.067689°
W 20.445557°		 ← 187.75 m →
35 252 m²		 S 52.067689°
W 20.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443210601806641 y=0.669986724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443210601806641 × 217)
    floor (0.443210601806641 × 131072)
    floor (58092.5)     		tx = 58092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669986724853516 × 217)
    floor (0.669986724853516 × 131072)
    floor (87816.5)     		ty = 87816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58092 / 87816 ti = "17/58092/87816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58092/87816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58092 ÷ 217
    58092 ÷ 131072     		x = 0.443206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87816 ÷ 217
    87816 ÷ 131072     		y = 0.66998291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.3399658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06803412353485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35684228} λ = -0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06803412353485))-π/2
    2×atan(0.343683493032403)-π/2
    2×0.33103659676772-π/2
    0.66207319353544-1.57079632675     		φ = -0.90872313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90872313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.066000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58092 KachelY 87816 -0.35684228 -0.90872313 -20.445557 -52.066000
    Oben rechts KachelX + 1 58093 KachelY 87816 -0.35679434 -0.90872313 -20.442810 -52.066000
    Unten links KachelX 58092 KachelY + 1 87817 -0.35684228 -0.90875260 -20.445557 -52.067689
    Unten rechts KachelX + 1 58093 KachelY + 1 87817 -0.35679434 -0.90875260 -20.442810 -52.067689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90872313--0.90875260) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90872313--0.90875260) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.90872313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614753342530432 × 6371000     		do = 187.761494559925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35684228--0.35679434) × cos(-0.90875260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614730098702096 × 6371000     		du = 187.754395296455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90872313)-sin(-0.90875260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614753342530432-0.614730098702096)×R²
    abs(-0.35679434--0.35684228)×2.32438283362946e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32438283362946e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32438283362946e-05×40589641000000     		ar = 35252.1869069487m²