Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58091 / 88769
↖ ↑ ↗
← S 53.646266°
W 20.448303°		 ← 181.05 m → S 53.646266°
W 20.445557°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
S 53.647894°
W 20.448303°		 ← 181.04 m →
32 780 m²		 S 53.647894°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443202972412109 y=0.677257537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443202972412109 × 217)
    floor (0.443202972412109 × 131072)
    floor (58091.5)     		tx = 58091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677257537841797 × 217)
    floor (0.677257537841797 × 131072)
    floor (88769.5)     		ty = 88769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58091 / 88769 ti = "17/58091/88769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58091/88769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58091 ÷ 217
    58091 ÷ 131072     		x = 0.443199157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88769 ÷ 217
    88769 ÷ 131072     		y = 0.677253723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443199157714844 × 2 - 1) × π
    -0.113601684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35689022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677253723144531 × 2 - 1) × π
    -0.354507446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.11371798887276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35689022} λ = -0.35689022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11371798887276))-π/2
    2×atan(0.328335939524114)-π/2
    2×0.317246177342841-π/2
    0.634492354685682-1.57079632675     		φ = -0.93630397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35689022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.448303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93630397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.646266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58091 KachelY 88769 -0.35689022 -0.93630397 -20.448303 -53.646266
    Oben rechts KachelX + 1 58092 KachelY 88769 -0.35684228 -0.93630397 -20.445557 -53.646266
    Unten links KachelX 58091 KachelY + 1 88770 -0.35689022 -0.93633239 -20.448303 -53.647894
    Unten rechts KachelX + 1 58092 KachelY + 1 88770 -0.35684228 -0.93633239 -20.445557 -53.647894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93630397--0.93633239) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93630397--0.93633239) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.93630397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592768748765628 × 6371000     		do = 181.046833740497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35689022--0.35684228) × cos(-0.93633239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592745859833675 × 6371000     		du = 181.039842871518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93630397)-sin(-0.93633239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592768748765628-0.592745859833675)×R²
    abs(-0.35684228--0.35689022)×2.28889319532355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28889319532355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28889319532355e-05×40589641000000     		ar = 32780.398421475m²