Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58087 / 88787
↖ ↑ ↗
← S 53.675561°
W 20.459290°		 ← 180.92 m → S 53.675561°
W 20.456543°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
S 53.677188°
W 20.459290°		 ← 180.91 m →
32 735 m²		 S 53.677188°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443172454833984 y=0.677394866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443172454833984 × 217)
    floor (0.443172454833984 × 131072)
    floor (58087.5)     		tx = 58087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677394866943359 × 217)
    floor (0.677394866943359 × 131072)
    floor (88787.5)     		ty = 88787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58087 / 88787 ti = "17/58087/88787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58087/88787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58087 ÷ 217
    58087 ÷ 131072     		x = 0.443168640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88787 ÷ 217
    88787 ÷ 131072     		y = 0.677391052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443168640136719 × 2 - 1) × π
    -0.113662719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35708197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677391052246094 × 2 - 1) × π
    -0.354782104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.11458085306593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35708197} λ = -0.35708197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11458085306593))-π/2
    2×atan(0.328052752392159)-π/2
    2×0.316990526730232-π/2
    0.633981053460464-1.57079632675     		φ = -0.93681527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35708197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.459290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93681527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.675561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58087 KachelY 88787 -0.35708197 -0.93681527 -20.459290 -53.675561
    Oben rechts KachelX + 1 58088 KachelY 88787 -0.35703403 -0.93681527 -20.456543 -53.675561
    Unten links KachelX 58087 KachelY + 1 88788 -0.35708197 -0.93684367 -20.459290 -53.677188
    Unten rechts KachelX + 1 58088 KachelY + 1 88788 -0.35703403 -0.93684367 -20.456543 -53.677188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93681527--0.93684367) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dl = 180.936400000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93681527--0.93684367) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dr = 180.936400000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35708197--0.35703403) × cos(-0.93681527) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592356884231176 × 6371000     		do = 180.921039710492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35708197--0.35703403) × cos(-0.93684367) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592334002802623 × 6371000     		du = 180.914051133244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93681527)-sin(-0.93684367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592356884231176-0.592334002802623)×R²
    abs(-0.35703403--0.35708197)×2.28814285534451e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28814285534451e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28814285534451e-05×40589641000000     		ar = 32734.569367628m²